伴随表示

在數學中，一個李群 G 的伴隨表示（adjoint representation）或伴隨作用（adjoint action）是 G 在它自身的李代數上的自然表示。這個表示是群 G 在自身上的共軛作用的線性化形式。

正式定义

設 G 是一個李群，${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  是它的李代數（我們將其等價於 G 中恒同元素的切空間 T_eG）。利用方程 ${\displaystyle \Psi (g)=\Psi _{g}}$  對 g 屬於 G，定義一個映射

${\displaystyle \Psi :G\to \mathrm {Aut} (G),\,}$ 

這里 ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}$  是 G 的自同構群而自同構 ${\displaystyle \Psi _{g}}$  定義為

${\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}\,}$  對所有 h 屬於 G。

從而 Ψ_g 在恒同處的微分是李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的一個自同構。我們記這個映射為 Ad_g：

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}.\,}$ 

所謂 Ad_g 是一個李代數自同構是說 Ad_g 是 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的一個保持李括號的線性變換。映射

${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ 

將 g 映為 Ad_g 稱為 G 的伴隨表示（adjoint representation）。這确实是 G 的一個表示因為 ${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$  是 ${\displaystyle \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}$  的一個李子群且如上伴隨映射是李群同態。伴隨表示的維數與群 G 的維數相同。

李代数的伴随表示

我們可以由李群 G 的一個表示通過在恒同處取導數變為它的李代數的表示。取伴隨映射的導數

${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,}$ 

給出李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的伴隨表示：

${\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}}).\,}$ 

這里 ${\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})}$  是 ${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$  的李代數，可以與 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  上的導子代數等同。李代數的伴隨表示與這個代數的結構有基本的聯繫。特別地，我們可以證明

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}$ 

對所有 ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$  成立。詳情請見李代数的伴随表示。

例子

• 如果 G 是一個 n 維阿貝爾群，G 的伴隨表示是n 維平凡表示。
• 如果 G 是一個矩陣李群（即 GL(n,C) 的一個閉子群），則它的李代數是一個以交換子作李括號的 n×n 矩陣代數（即 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$  的子代數）。此時，伴隨映射由 Ad_g(x) = gxg⁻¹ 給出。
• 如果 G 是 SL₂(R)（行列式為 1 的 2×2 實矩陣），G 的李代數由跡 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 G 在兩個變量二次型空間上通過線性替換給出的作用。

性质

下表總結了定義中提到的不同映射的性質

${\displaystyle \Psi \colon G\to \mathrm {Aut} (G)\,}$	${\displaystyle \Psi _{g}\colon G\to G\,}$
李群同態: ${\displaystyle \Psi _{gh}=\Psi _{g}\Psi _{h}}$	李群自同態: ${\displaystyle \Psi _{g}(ab)=\Psi _{g}(a)\Psi _{g}(b)}$  ${\displaystyle (\Psi _{g})^{-1}=\Psi _{g^{-1}}}$
${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$	${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$
李群同態: ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{gh}=\mathrm {Ad} _{g}\mathrm {Ad} _{h}}$	李代數自同態: ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}}$  線性 ${\displaystyle (\mathrm {Ad} _{g})^{-1}=\mathrm {Ad} _{g^{-1}}}$  ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}[x,y]=[\mathrm {Ad} _{g}(x),\mathrm {Ad} _{g}(y)]}$
${\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})}$	${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$
李代數同態: ${\displaystyle \mathrm {ad} }$  线性 ${\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]}$	李代數導子: ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$  線性 ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}(y),z]+[y,\mathrm {ad} _{x}(z)]}$

G 在伴隨映射下的像記為 Ad_G。如果 G 連通，則伴隨表示的核與 Ψ 的核相同，就是 G 的中心。從而，如果 G 中心平凡，則連通李群 G 的伴隨表示是忠實的。進一步，如果 G 不連通，伴隨映射的核是 G 的單位分支 G₀ 的中心化子。由第一同構定理我們有

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{G}\cong G/C_{G}(G_{0}).\,}$ 

半单李群的根

如果 G 半單，伴随表示的非零权组成一个根系。为了说明这是怎么回事，考虑特例 G=SL_n(R)。

我们可取对角矩阵 diag(t₁,...,t_n) 的群是 G 的极大环面 T。用 T 中元素的共轭作用为

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}$ 

从而 T 在 G 的李代数的对角部分上的作用平凡，在非对角元素上有本征向量 t_it_j^-1。G 的根是权 diag(t₁,...,t_n)→t_it_j^-1。这是 G=SL_n(R) 的根系作为e_i−e_j 形式的向量集合的标准描述之说明。

变体与类比

伴随表示也能对任何域上的代数群定义。

餘伴随表示（co-adjoint representation）是伴随表示的逆步表示。亚历山大·卡里洛夫（Alexandre Kirillov）观察到任何向量在餘伴随表示中的轨道是一个辛流形。按照表示论中称之为轨道方法的哲学（另见卡里洛夫特征标公式（Kirillov character formula）），一个李群 G 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在幂零李群时最密切。

参考

• Fulton, William; Harris, Joe, Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics 129, New York: Springer-Verlag, 1991, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6 
• Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222, Springer-Verlag( reprinted by World Publishing Corporation, Beijing), 2004, ISBN 978-7-5062-8297-0