賦值

提示：此条目的主题不是赋值语句。

  关于邏輯學上，對命題真值的賦值，请见「賦值 (邏輯)」。

在代数中，赋值是一个度量域元素的阶（多少）或元素重复度的函数。推广到交换代数，就是对复分析中极点，零点重复度度量，推广到代数数论中的代数整数整性的度量，在代数几何中也有类似概念，一个域与它的赋值被称为赋值域。

定義

一個域${\displaystyle K}$ 上取值在有序交換群Γ的賦值是從${\displaystyle K^{*}}$ 到Γ的映射${\displaystyle v}$ ，滿足下述性質：

• ${\displaystyle v(xy)=v(x)+v(y)}$ （即：${\displaystyle v}$ 是群同態）
• ${\displaystyle x+y\neq 0\Rightarrow v(x+y)\geq \mathrm {min} (v(x),v(y))}$ 

Γ稱作${\displaystyle v}$ 的值群。

兩個賦值${\displaystyle v_{i}:K^{*}\rightarrow \Gamma _{i}\;(i=1,2)}$ 被稱作等價的，若且唯若存在有序交換群的同構${\displaystyle \phi :\Gamma _{1}\rightarrow \Gamma _{2}}$ 使得${\displaystyle v_{2}=\phi \circ v_{1}}$ 。

為了操作上的便利，我們通常會將${\displaystyle v}$ 的值域擴至${\displaystyle \Gamma \cup \{\infty \}}$ ，並設${\displaystyle v(0)=\infty }$ 。

p進賦值

設p為正質數。對於所有非零的有理數，存在一且唯一一個整數${\displaystyle n}$ 使得 ${\displaystyle x={\frac {u}{v}}p^{n}}$  ，其中${\displaystyle u,v}$ 均非${\displaystyle p}$ 的倍數。p進賦值就是函數 ${\displaystyle v_{p}:x\to n}$ 。它給出一個p進絕對值 ${\displaystyle \vert \cdot \vert _{p}:\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ ，定義為

${\displaystyle \vert x\vert _{p}={\begin{cases}0\\p^{-v_{p}(x)}\\\end{cases}}}$	若${\displaystyle x=0}$
	若${\displaystyle x\neq 0}$

p進賦值是個非阿基米得賦值。其值群是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 。

例子

• 令${\displaystyle X}$ 為緊黎曼曲面，${\displaystyle \mathbb {C} (X)}$ 為其上的亞純函數域。固定一點${\displaystyle x\in X}$ 。定義${\displaystyle v_{x}(f)}$ 為${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle x}$ 的重根數，便得到${\displaystyle \mathbb {C} (X)}$ 上的賦值，其值群為${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 。對於高維情形則須考慮其因子，但此時需考慮點的拉開，狀況較複雜。扎里斯基正是為了研究代數曲面而開始研究賦值論。
• 上述構造亦可套用到定義在任意域上的代數曲線。
• 利用函數域與數域的類比，可在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上考慮p進賦值。根據奥斯特洛夫斯基定理，${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上的任意賦值皆等價於某個p進賦值。

參見

• 有序交換群
• 賦值環

参考文献

• Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.
• Jacobson, Nathan, Valuations: paragraph 6 of chapter 9, Basic algebra II 2^nd, New York: W. H. Freeman and Company, 1989 [1980], ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694.16001 . A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
• Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1976 [1960], ISBN 978-0-387-90171-8 

扩展阅读

• Danilov, V.I., Valuation, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Discrete valuation at PlanetMath.
• Valuation at PlanetMath.
• 埃里克·韦斯坦因. Valuation. MathWorld.