拉開

在數學中，拉開（法文：éclatement，英文：blowing up）、單項變換或σ-過程是一種幾何的操作，代數幾何中的應用尤重。拉開是雙有理幾何的基本工具。對代數簇或複流形 ${\displaystyle M}$ 上一點 ${\displaystyle Z}$ 的拉開是將該點換為該點法叢的射影叢，或者具體地說是換為該點切空間的射影空間，從而得到拉開態射 ${\displaystyle \mathrm {Bl} _{Z}:{\tilde {M}}\rightarrow M}$，這是一個雙有理等價。對較高維子流形也能定義拉開。

當代代數幾何學將拉開視為對概形的內在操作，然而拉開也有外在的描述法，例如取一平面曲線，並對它所處的射影平面作某類變換；這是古典的進路，其想法至今仍反映於用語上。

對仿射空間中一點作拉開

以下僅考慮複數域 ${\displaystyle \mathbb {C} }$  上的情形，一般構造準此可知。

令 ${\displaystyle Z}$  為複仿射空間 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  的原點，仿射空間的元素以坐標表為 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ 。令 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$  為 ${\displaystyle (n-1)}$ -維複射影空間，其元素以齊次坐標表示為 ${\displaystyle (y_{1}:\ldots :y_{n})}$ 。 令 ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}}$  為 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}}$  中由等式 ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$  定義之閉子集，其中 ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$ 。則投影態射

${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {C} ^{n}}$ 

自然地導出態射（特別也是全純函數）

${\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}\to \mathbb {C} ^{n}.}$ 

此態射 ${\displaystyle \pi }$ （或者更常指空間 ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}}$ ）稱為 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  的拉開。

例外除數 ${\displaystyle E}$  定義為 ${\displaystyle Z}$  對態射 ${\displaystyle \pi }$  的逆像。可以證明

${\displaystyle E=Z\times \mathbb {P} ^{n-1}\subseteq \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}}$ 

同構於射影空間。它是個非負除數，而且在 ${\displaystyle E}$  之外 ${\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}\setminus E\rightarrow \mathbb {C} ^{n}\setminus Z}$  是同構。因此 ${\displaystyle \pi }$  是 ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}}$  與 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  之同構。

對複流形的子流形作拉開

一般來說，我們可以開任何餘維為 ${\displaystyle k}$  的複子流形 ${\displaystyle Z\subset \mathbb {C} ^{n}}$ 。設 ${\displaystyle Z}$  由方程式 ${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{k}=0}$ 定義，並設 ${\displaystyle (y_{1}:\ldots :y_{k})}$  為 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{k-1}}$  上的齊次坐標。沿 ${\displaystyle Z}$  的拉開 ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}}$  定義為方程 ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$ （對所有 ${\displaystyle i,j}$  ）在空間 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{k-1}}$  中定義的閉子集。

進一步推廣，我們可拉開任何複流形 ${\displaystyle X}$  的任一複子流形 ${\displaystyle Z}$ ，方式是局部上化約到上述情形，拉開後再予以黏合。效果依然，我們將 ${\displaystyle Z}$  拉開為例外除子 ${\displaystyle E}$ 。而拉開態射

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$ 

依然是雙有理的，並在 ${\displaystyle E}$  外是同構。 ${\displaystyle E}$  可自然地視作 ${\displaystyle Z}$  的法叢的射影化，因此 ${\displaystyle \pi |_{E}:E\to Z}$  局部上是纖維化映射，其纖維為 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{k-1}}$ 。

由於 ${\displaystyle E}$  是平滑除子，其法叢為線叢。對於曲面的情形，可證明 ${\displaystyle E}$  的自相交數為負，這表明其法叢沒有整體上定義的截面。${\displaystyle E}$  是其同調類在 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$  上的唯一代表，原因在於：假設 ${\displaystyle E}$  經擾動後變為代表同一同調類的另一個複子流形，則它和 ${\displaystyle E}$  的相交數必為正，故矛盾。這是例外除子之所以「例外」之故。

設 ${\displaystyle V}$  維某個 ${\displaystyle X}$  中不等於 ${\displaystyle Z}$  的複子流形。若 ${\displaystyle V}$  不交 ${\displaystyle Z}$ ，則它本質上不受沿 ${\displaystyle Z}$  的拉開影響。然而若有相交，則 ${\displaystyle V}$  在 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$  中導出兩個幾何對象：一者是真變換或稱嚴格變換，它是 ${\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus Z)}$  在 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$  中的閉包，其法叢一般與 ${\displaystyle V}$  的不同。另一者是全變換，包含 ${\displaystyle E}$  的全體或一部分，其同調類基本上是 ${\displaystyle V}$  的上同調類之拉回。

推廣：概形的拉開

拉開可以在一般的概形上定義。令 ${\displaystyle X}$  為一概形，並設 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$  為其上一凝聚理想層，${\displaystyle X}$  沿 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$  的拉開是概形 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$  及真態射

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ 

使得 ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$  是可逆層，此拉開由下述泛性質刻劃：

對任何態射 ${\displaystyle f:Y\rightarrow X}$ ，若它使得 ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$  是可逆層，則 ${\displaystyle f}$  唯一地透過 ${\displaystyle \pi }$  分解。

此拉開可具體地由

${\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} (\oplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n})}$ 

構造。當 ${\displaystyle X}$  是擬射影概形時，${\displaystyle \pi }$  將是射影態射。

重要性質

與有理映射的關係

與奇點解消的關係

曲面的拉開

在平滑的射影曲面上，任何雙有理等價皆可分解為一系列的拉開與縮回。

以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分類中的基本工具：

定理 . 設 ${\displaystyle X}$  為平滑射影曲面，${\displaystyle D=\sum C_{i}}$  為 ${\displaystyle X}$  上一個既約除數，若其相交矩陣 ${\displaystyle (C_{i}\cdot C_{j})_{ij}}$  負定，則 ${\displaystyle X}$  可表成某個代數曲面的拉開，使得 ${\displaystyle D}$  為其例外除數。

相交理論

相關的建構

向法錐變形

向法錐變形的技術可以證明代數幾何中的許多結果。給定一個概形 ${\displaystyle X}$  及其閉子概形 ${\displaystyle V}$ ，我們在 ${\displaystyle Y:=X\times \mathbb {A} ^{1}}$  中拉開 ${\displaystyle V\times (0)}$ ，則

${\displaystyle {\tilde {Y}}\to X\times \mathbb {A} ^{1}}$ 

是纖維化映射。沿著 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$  的一般纖維自然同構於 ${\displaystyle X}$ ，而中心纖維則是兩個概形的并集：一者是 ${\displaystyle X}$  沿 ${\displaystyle V}$  的拉開；另一者則是 ${\displaystyle V}$  的法錐，其中我們將纖維緊化為射影空間。

辛流形的拉開

拉開也可以在辛流形的範疇中施行，稱作辛拉開。方式是將辛流形賦予殆複結構，然後仿照複拉開的模式。然而這僅在拓撲層次上有意義，我們必須小心地為拉開後的空間賦予一個辛形式，因為我們不能任意將辛形式沿例外除數 ${\displaystyle E}$  延拓，而必須在 ${\displaystyle E}$  的一個鄰域上修改之；或藉著將 ${\displaystyle Z}$  的一個開鄰域切下，然後適當地折疊邊界以完成拉開。較好的理解方式是利用辛切割的一般理論，其中辛拉開只是個特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除數向法錐變形的類比。

文獻

• Fulton, William. Intersection Theory. Springer-Verlag. 1998. ISBN 978-0-387-98549-7. 
• Griffiths, Phillip and Harris, Joseph. Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. 1978. ISBN 978-0-471-32792-9. 
• Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9. 
• McDuff, Dusa and Salamon, Dietmar. Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. 1998. ISBN 978-0-19-850451-1.