Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8(法语).引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护:冗余文本 (link)
Kleiman, S., "Misconceptions about KX", Enseign. Math. 25 (1979), 203-206
九月 24, 2023
函數域, 在代數幾何中, 一個整概形, displaystyle, displaystyle, displaystyle, 上的有理函數組成, 對於一般的概形, 相應的對象是有理函數層, 雙有理幾何研究的便是由, displaystyle, 所決定的幾何性質, 目录, 整概形的情形, 定義, 與維度, 例子, 一般概形的情形, 與亞純的關係, 文獻整概形的情形, 编辑定義, 编辑, displaystyle, nbsp, 是仿射整概形, displaystyle, subset, nbsp, 為開集, 則定義, d. 在代數幾何中 一個整概形 X displaystyle X 的函數域 K X displaystyle K X 由 X displaystyle X 上的有理函數組成 對於一般的概形 相應的對象是有理函數層 雙有理幾何研究的便是由 K X displaystyle K X 所決定的幾何性質 目录 1 整概形的情形 1 1 定義 1 2 函數域與維度 1 3 例子 2 一般概形的情形 3 與亞純函數域的關係 4 文獻整概形的情形 编辑定義 编辑 若 X displaystyle X nbsp 是仿射整概形 U X displaystyle U subset X nbsp 為開集 則定義 K X U displaystyle K X U nbsp 為 O X U displaystyle mathcal O X U nbsp 的分式域 此時 K X displaystyle K X nbsp 是 O X X displaystyle mathcal O X X nbsp 的分式域的常數層 若 X displaystyle X nbsp 是整概形 而非仿射概形 則任何非空仿射開集都稠密 對任何開集 U X displaystyle U subset X nbsp 可以一致地定義 K X U K V U V displaystyle K X U K V U cap V nbsp 其中 V displaystyle V nbsp 是任一非空仿射開集 這仍然是對應到一個域的常數層 該域稱之為 X displaystyle X nbsp 的函數域 另一種等價定義是 O X displaystyle mathcal O X nbsp 在一般點的莖 函數域與維度 编辑 設 k displaystyle k nbsp 為域 X displaystyle X nbsp 為不可約 k displaystyle k nbsp 代數簇 則 K X displaystyle K X nbsp 是 k displaystyle k nbsp 的域擴張 有時也寫作 k X displaystyle k X nbsp 此擴張的超越次數等於 dim X displaystyle dim X nbsp 此命題可以化約到仿射簇的情形 再以諾特正規化引理證明 例子 编辑 Z displaystyle mathbb Z nbsp 的函數域是 Q displaystyle mathbb Q nbsp 以下設 k displaystyle k nbsp 為域 單點 S p e c k displaystyle mathrm Spec k nbsp 的函數域是 k displaystyle k nbsp 本身 仿射直線 A k 1 displaystyle mathbb A k 1 nbsp 與射影直線 P k 1 displaystyle mathbb P k 1 nbsp 的函數域都是 k t displaystyle k t nbsp 其中 t displaystyle t nbsp 是 k displaystyle k nbsp 上的超越元 考慮平面曲線 y 2 x 5 1 displaystyle y 2 x 5 1 nbsp 其函數域是 k x y displaystyle k x y nbsp 其中 x y displaystyle x y nbsp 是 k displaystyle k nbsp 上滿足 y 2 x 5 1 displaystyle y 2 x 5 1 nbsp 的超越元 一般代數曲線的函數域可以依此類推 當 k displaystyle k nbsp 為有限域時 k displaystyle k nbsp 代數曲線的函數域與數域之間有深刻的類比 一般概形的情形 编辑當 X displaystyle X nbsp 不是整概形時 O X displaystyle mathcal O X nbsp 在開集上的截面可能有零因子 此時分式域並不存在 詳見 Kleiman 的文章 正解如下 對任一開集 U X displaystyle U subset X nbsp 令 S U displaystyle S U nbsp 為 O X U displaystyle mathcal O X U nbsp 中的非零因子集 這是一個積性集 命 K X p U S U 1 O X U displaystyle K X p U S U 1 mathcal O X U nbsp 即 O X U displaystyle mathcal O X U nbsp 的全分式環 K X p displaystyle K X p nbsp 構成 X displaystyle X nbsp 上的預層 令 K X displaystyle K X nbsp 為其層化 此即 X displaystyle X nbsp 的有理函數層 它是 O X displaystyle mathcal O X nbsp 代數構成的層 若 X displaystyle X nbsp 局部上可以分解成有限個整概形 X X i displaystyle X bigcup X i nbsp 這對局部諾特概形皆成立 則對任何開集 U displaystyle U nbsp 有 K X U X i U K X i displaystyle K X U bigoplus X i cap U neq emptyset K X i nbsp 此時 K X displaystyle K X nbsp 是 X displaystyle X nbsp 上的擬凝聚層 與亞純函數域的關係 编辑在複代數幾何中 基本的對象是不可約複解析簇 其上能局部地開展複分析 由此可以定義複解析簇上的亞純函數 亞純函數域是該簇上的亞純函數之集合 在不可約 C displaystyle mathbb C nbsp 代數簇上 有理函數必為亞純函數 反之則不然 考慮 A C 1 displaystyle mathbb A mathbb C 1 nbsp 若加上緊緻條件 則可證明此時亞純函數域確等於有理函數域 文獻 编辑Grothendieck Alexandre Jean Dieudonne Elements de geometrie algebrique 2nd edition Berlin New York Springer Verlag 1971 ISBN 978 3 540 05113 8 法语 引文使用过时参数coauthors 帮助 引文格式1维护 冗余文本 link Kleiman S Misconceptions about KX Enseign Math 25 1979 203 206 取自 https zh wikipedia org w index php title 函數域 amp oldid 68714813, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,