十九面體

在幾何學中，十九面體是指有19個面的多面體，在十九面體當中沒有任何一個形狀是正多面體，換言之即正十九面體並不存在，但仍有許多由正多邊形組成的十九面體，例如正十七角柱^[1][2]，與之拓樸結構類似的十九面體^[3][4][5]曾被用於在形狀穩定性的證明^[6]。

十九面體

部分的十九面體
扭稜半立方體	十八角錐
十七角柱

常見的十九面體是十七角柱和十八角錐，也有一些化學結構是十九面體，例如有一種十二個頂點的分子構型，由其在幾何上由十八個三角形和一個四邊形組成^[7]。此外要構成十九面體至少要有12個頂點^[8]。

常見的十九面體

常見的十九面體包含了一些錐體、柱體和一些由錐體與柱體組合並包含19個面形狀，亦有一些拓樸結構明顯與錐體、柱體不同的十九面體，例如空間填充十三面體的對偶多面體。

十八角錐

 

十八角錐

十八角錐是一種底面為十八邊形的錐體，是十九面體的一種，其具有19個面、36條邊和19個頂點，其對偶多面體是自己本身^[9]。正十八角錐是一種底面為正十八邊形的十八角錐，在施萊夫利符號中可以用{}∨{18}來表示。底邊長為${\displaystyle s}$ 、高為${\displaystyle h}$ 的正十八角錐體積${\displaystyle V}$ 和表面積${\displaystyle S}$ 為^[9]：

${\displaystyle V={\frac {3hs^{2}\cot {\frac {\pi }{18}}}{2}}\approx 8.50692hs^{2}}$ 

${\displaystyle S={\frac {9s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{18}}}}+s\cot {\frac {\pi }{18}}\right)}{2}}\approx 4.5s\left({\sqrt {4h^{2}+32.1634s^{2}}}+5.67128s\right)}$ 

十七角柱

 

十七角柱

十七角柱是一種底面為十七邊形的柱體，是十九面體的一種，由19個面51條邊和34個頂點組成。正十七角柱代表每個面都是正多邊形的十七角柱，其每個頂點都是2個正方形和1個十七邊形的公共頂點，頂點圖以${\displaystyle 4{.}4{.}17}$ 表示，因此具有每個角等角的性質（點可遞），可以歸類為半正十九面體，不過他跟其他較接近球形的半正多面體相比之下變得比較扁一些。

正十七角柱在施萊夫利符號中可以用{17}×{}或t{2,17}來表示，在考克斯特符號（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以用     來表示，在威佐夫符號（英语：Wythoff symbol）中可以利用2 17 | 2來表示，在康威多面體表示法中可以利用P17來表示。底邊長為${\displaystyle s}$ 、高為${\displaystyle h}$ 的正十七角柱體積${\displaystyle V}$ 和表面積${\displaystyle S}$ 為^[10]：

${\displaystyle V={\frac {17hs^{2}\cot {\frac {\pi }{17}}}{4}}\approx 22.7355hs^{2}}$ 

${\displaystyle S=17s\left(h+{\frac {s\cot {\frac {\pi }{17}}}{2}}\right)\approx 17s\left(h+2.67476s\right)}$ 

九角錐柱

九角錐柱是指底面為九邊形的角錐柱，由19個面、32條邊和19個頂點組成，是一種十九面體。其對偶多面體為九角錐台錐，由於拓樸結構與九角錐柱相同，因此有時會被視作自身對偶多面體。

九角錐台錐

九角錐台錐是指由九角錐台和九角錐組合成的多面體，其有兩種形式：一種是九角錐疊在九角錐台較小的九邊形面、另一種是九角錐疊在九角錐台較大的九邊形面。後者可以視為只截去一個頂點的雙九角錐。

九角錐台錐的拓樸結構與九角錐柱相同，因為九角錐柱可以藉由縮放其九邊形面使圖形變形成九角錐台錐。

十七角錐台

十七角錐台一種底面為時七邊形的錐台，可以視為切去一個頂點的十七角錐。通常其兩個底面形狀會有差異或者相似，而兩個底面都全等的十七角錐台與十七角柱無異，因此十七角錐台的拓樸結構與十七角柱相同，因為十七角柱可以藉由縮放其十七邊形面使圖形變形成十七角錐台。

六角錐反角柱

六角錐反角柱是指底面為六邊形的角錐反角柱，可以視為一個六角錐與一個反六角柱底面對底面的組合。

六角錐反角柱不是一個詹森多面體，因為當其所有面都是正多邊形時，其中六個正三角形將會共面，而導致圖形退化成反六角柱。

 

相同的情形也出現在雙六角錐反角柱上，必須要將部分正多邊形面拉長或扭曲才能構成多面體，導致其無法以所有面皆為正多邊形的形式存在，因此這些多面體可以被歸類為擬詹森多面體^[11]。

對偶多面體為十九面體的多面體

有些多面體具有19個頂點，因此其對偶多面體為十九面體。例如空間填充十三面體具有19個頂點，因此其對偶多面體是一個十九面體。

空間填充十三面體的對偶多面體

 

空間填充十三面體的對偶多面體

空間填充十三面體的對偶多面體是一種19面體，其可以視為一種經過扭稜變換的結果，其對應的原像與半立方體類似，但又不相同，其對應的原像有面積為零的退化面。

這個多面體一共有19個面、30條邊和13個頂點，其面由16個三角形和3個梯形所組成。其對偶多面體可以獨立填滿整個三維空間。

十九面體列表

名稱	種類	圖像	符號	頂點	邊	面	χ	面的種類	對稱性	展開圖
十七角柱	稜柱體		t{2,17} {17}x{}	34	51	19	2	2個十七邊形 17個矩形	D17h, [17,2], (*17 2 2), order 68
十八角錐	稜錐體		( )∨{18}	19	36	19	2	1個十八邊形 18個三角形	C18v, [18], (*18 18)
九角錐柱	角錐柱		P9+Y9	19	36	19	2	9個三角形 9個正方形 1個九邊形	C9v, [9], (*99)
九角錐台錐	截角雙錐			19	36	19	2	1個九邊形 9個梯形 9個三角形	C9v, [9], (*99)
十七角錐台	錐台			34	51	19	2	2個十七邊形 17個梯形	D17h, [17,2], (*17 2 2), order 68
六角錐反角柱	角錐反角柱			13	30	19	2	1個六邊形 18個三角形	C6v, [6], (*66)
六角化六角帳塔	帳塔錐			19	36	19	2	12個三角形 6個矩形 1個12邊形	C6v, [6], (*66)
空間填充十三面體^[12] 的對偶多面體	扭稜半立方體			13	30	19	2	16個三角形 3個梯形
側錐十四角柱			A14+Y4			19		4個正三角形 13個正方形 2個十四邊形	C2v
二側錐十一角柱			P11+2Y4			19		8個正三角形 9個正方形 2個十一邊形	C2v

參見

• 十九邊形：同為含19個維面（facet）的形狀，但是位於二維空間。

參考文獻

1. Murray S. Klamkin. Problems in Applied Mathematics. SIAM. 1990. ISBN 9781611971729. 
2. Algonquin College, Carleton-Ottawa Mathematics Association. Crux Mathematicorum. 第 6 卷. Algonquin College. 1980: 29. 
3. University of Calgary. Dept. of Mathematics, Statistics, and Computing Science. Research Paper. 第 101-110 期. 1980: 22. 
4. Raj Chandra Bose, University of North Carolina (1793-1962). Dept. of Statistics, United States. Air Force. Office of Scientific Research. Proceedings. University of North Carolina. 1970: 232. 
5. George S. Innis. Existence of Binary Sequences with Prescribed Properties 11 (4): 621–622. doi:10.1137/1011101.  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)
6. Michael Goldberg, R. K. Guy, and R. K. Guy. Stability oF Polyhedra. Problem 66-12 11 (1): 621–622. 1969年1月. doi:10.1137/1011014.  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)
7. KING, R. Bruce. Supraicosahedral polyhedra in carboranes and metallacarboranes: The role of local vertex environments in determining polyhedral topology and the anomaly of 13-vertex closo polyhedra. Journal of organometallic chemistry, 2007, 692.9: 1773-1782.
8. Counting polyhedra. numericana.com. [2016-01-10]. （原始内容于2016-05-06）. 
9. Wolfram, Stephen. "Octadecagonal pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）. 
10. Wolfram, Stephen. "heptadecagonal prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）. 
11. Kaplan, Craig S.; Hart, George W., Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons, Bridges: Mathematical Connections in Art, Music and Science (PDF), 2001 [2016-10-16], （原始内容 (PDF)于2015-09-23） .
12. . science.unitn.it. 2016-01-10 [2016-08-28]. （原始内容存档于2017-07-01）.