二面體
在幾何學中，二面體是指由2個面組成的多面體，但由於三維空間中的多面體至少要具有4個面，因此少於四個面的多面體只能是退化的，換句話說，小於4個面的多面體無法具有非零的體積。二面體中最常見的就是多邊形二面體，即由兩個全等的平面圖型封閉出的零體積空間所形成的退化多面體。最簡單的二面體是一種球面鑲嵌：一角形二面體，它的對偶是一面形。另外二面體也可以以環形多面體或正則地區圖的形式存在。
二面體中不存在任何柱體，因為如果柱體要僅有兩個面，代表其不存在側面，而這樣的立體就不是柱體了。
常見的二面體 编辑
平面圖形 编辑
任何平面圖形都可以視為一個二面體，並且屬於二面體群。
若將一封閉的平面圖形放置於三維空間也可以視為一個二面體，如多邊形二面體。他們皆屬於二面體群，是透鏡空間的基本域[1]。
球面鑲嵌 编辑
| 名稱 | 二面形 | 一角形二面體 | 多邊形二面體 |
|---|---|---|---|
| 圖像 | |||
| 施萊夫利符號 | {2,2} | {1,2} h{2,2} | {n,2} |
| 考克斯特記號 |
二面形 编辑
一個二面形，是一種由二個鑲嵌在球體上的球弓形組成的多面形，施萊夫利符號中利用{2,2}來表示，該符號表達了二面形的結構——每個頂點都是2個二角形的公共頂點。
一角形二面體 编辑
一角形二面體，又稱為雙一角形（dimonogon[2]）是一種退化的多邊形二面體，由2個一角形組成，這個幾何結構只有1個頂點，該頂點為2個一角形的公共頂點，在施萊夫利符號中用{1,2}表示，其具有2個面、1條邊和1個頂點，對偶多面體是一個一面體：一面形。[2]
在球面幾何學中，一角形二面體是一個球面上的一個圓上任一頂點。這形成了一個二面體，施萊夫利符號中利用{1,2}來表示，與的兩個半球形一角形面，共用一個360°的邊和一個頂點。它的對偶是一面形，施萊夫利符號中利用{2,1}來表示，具有一個二角形面（一個完整的360°弓形），一個180°的邊緣，和兩個頂點，因此屬於一面體。
| 作為正則地區圖的一角形二面體。兩個面分別以藍色和黃色表示 | 截角的一角形二面體，紅色為截角的截面，所形成的立體為三面形 |
一角錐 编辑
一角錐是指底面為一角形的錐體，由於其底面為一角形，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，此時的一角錐由1個球面一角形和1個球面三角形構成。這種一角錐共有2個面、2條邊和2個頂點。一角錐的對偶多面體同樣是一角錐，因此是一種自身對偶的多面體。
雙一角錐 编辑
雙一角錐是以一角形為底的雙錐體，為一角柱的對偶多面體。由於其以一角形為底，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，這種雙一角錐由2個面、3條邊和3個頂點組成，其兩個面都是三角形，但拓撲結構與三角形二面體不同，其中的兩個頂點為對蹠點，剩下的一個頂點位於赤道面上連結與對蹠點相連的兩條邊。雙一角錐的對偶多面體為一角柱。
環形多面體 编辑
部分的環形多面體也是二面體，例如{4,4}1,1是一種環形二面體[5]，為環面上的兩個四邊形面共用2個頂點和4條邊；以及{3,6}1,0也是一種環面二面體，為環面上兩個三角形共用一個頂點和三條邊。
正則地區圖 编辑
部分的正則地區圖由兩個面組成，可以視為二面體的一種，例如虧格為2的二面正則地區圖有S2:{8,4}、S2:{6,6}和S2:{5,10}。其中S2:{8,4}為由兩個八邊形面共用4個頂點和8條邊[6]，並且八邊形在頂點周圍自我重複相鄰兩次，也就是頂點周圍圍繞著4個八邊形，且對應的皮特里多邊形為八邊形，因此其在施萊夫利符號中可以用{8,4}8來表示[7]；S2:{6,6}為由兩個六邊形共用兩個頂點和6條邊[8]，並且六邊形在頂點周圍自我重複相鄰三次，也就是其頂點周圍圍繞著六個六邊形，且對應的皮特里多邊形為二角形，因此在施萊夫利符號中可以用{6,6}2來表示[7]；S2:{5,10}為由兩個五邊形共用一個頂點和5條邊[9]，並且五邊形在頂點周圍自我重複相鄰五次，也就是其頂點周圍圍繞著10個五邊形，且對應的皮特里多邊形為二角形，因此在施萊夫利符號中可以用{5,10}2來表示[7]。
| 虧格 | 名稱 | 施萊夫利符號 | 頂點 | 邊 | 面 | 組成面 | 頂點圖 | 皮特里多邊形 | 對偶 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2[7] | S2:{8,4} | {8,4}8 | 4 | 8 | 2 | 八邊形 | 四邊形（4個八邊形的公共頂點） | 八邊形 | S2:{4,8}（4個面） |
| S2:{6,6} | {6,6}2 | 2 | 6 | 2 | 六邊形 | 六邊形（6個六邊形的公共頂點） | 二角形 | 自身對偶 | |
| S2:{5,10} | {5,10}2 | 1 | 5 | 2 | 五邊形 | 十邊形（10個五邊形的公共頂點） | 二角形 | S2:{10,5}（1個面） | |
| 3[10] | S3:{12,4} | {12,4}6 | 6 | 12 | 2 | 十二邊形 | 四邊形（4個十二邊形的公共頂點） | 六邊形 | S3:{4,12}（6個面） |
| S3:{8,8}4 | {8,8}4 | 2 | 8 | 2 | 八邊形 | 八邊形（8個八邊形的公共頂點） | 四邊形 | 自身對偶[11][12] | |
| S3:{8,8}2 | {8,8}2 | 二角形 | |||||||
| S3:{7,14} | {7,14}2 | 1 | 7 | 2 | 七邊形 | 十四邊形（14個七邊形的公共頂點） | 二角形 | S3:{14,7}（1個面） | |
| 4[13] | S4:{16,4} | {16,4}16 | 8 | 16 | 2 | 十六邊形 | 四邊形（4個十六邊形的公共頂點） | 十六角形 | S4:{4,16}（8個面） |
| S4:{12,6} | {12,6}4 | 4 | 12 | 2 | 十二邊形 | 六邊形（6個十二邊形的公共頂點） | 四邊形 | S4:{6,12}（4個面） | |
| S4:{10,10} | {10,10}2 | 2 | 10 | 2 | 十邊形 | 十邊形（10個十邊形的公共頂點） | 二角形 | 自身對偶 | |
| S4:{9,18} | {9,18}2 | 1 | 9 | 2 | 九邊形 | 十八邊形（18個九邊形的公共頂點） | 二角形 | S4:{18,9}（1個面） |
圓錐 编辑
在不嚴謹的情況下，圓錐也能算是一種二面體，因為它可以看做是只有兩個面的幾何體，由一曲面（側面）和一圓形平面（底面）所組成。
二面體列表 编辑
| 名稱 | 種類 | 圖像 | 符號 | 頂點 | 邊 | 面 | χ | 面的種類 | 對稱性 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 一角形二面體 | 多邊形二面體 | {1,2} | 1 | 1 | 2 | 2 | 2個一角形 | C1v （*22） | |
| 二面形 | 多面形 多邊形二面體 | {2,2} | 2 | 2 | 2 | 2 | 2個二角形 | D2h （*222） | |
| 一角錐 | 角錐 退化多面體 球面多面體 | ( )∨{1} | 2 | 2 | 2 | 2 | 1個一角形 1個三角形 | C1v, [1] | |
| 雙一角錐 | 雙錐體 退化多面體 球面多面體 | { }+{1} | 3 | 3 | 2 | 2 | 2個三角形 | D1h, [1,2], (*221) order 4 | |
| 四面形半形 （hemi-4-hosohedron）[14] | 多面形 多面體半形 | {2,4}4/2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 2個二角形 | ||
| 三維多邊形 | 多邊形二面體 | {n,2} | n | n | 2 | 2 | 2個全等的多邊形 | Dnh （*n22） | |
| 二階無限邊形鑲嵌[16] | 鑲嵌圖 | {∞,2} | ∞ | ∞ | 2 | 2 | 2個無限邊形 | [∞,2], (*∞22) | |
| {4,4}1,1 | 環形多面體 | {4,4}1,1 | 2 | 4 | 2 | 0 | 2個正方形 | ||
| {3,6}1,0 | 環形多面體 | {3,6}1,0 | 1 | 3 | 2 | 0 | 2個正三角形 | ||
| S2:{8,4}[6] | 正則地區圖 | {8,4}8[7] | 4 | 8 | 2 | -2 | 2個八邊形 | ||
| S2:{6,6}[8] | 正則地區圖 | {6,6}2[7] | 2 | 6 | 2 | -2 | 2個六邊形 | ||
| S2:{5,10}[9] | 正則地區圖 | {5,10}2[7] | 1 | 5 | 2 | -2 | 2個五邊形 | ||
| 圓錐體 | 非嚴格多面體 曲面 柱體 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1個曲面 1個圓形 |
參見 编辑
參考文獻 编辑
- ^ Gausmann, Evelise; Roland Lehoucq, Jean-Pierre Luminet, Jean-Philippe Uzan, Jeffrey Weeks. Topological Lensing in Spherical Spaces. Classical and Quantum Gravity. 2001, 18: 5155–5186. arXiv:gr-qc/0106033 . doi:10.1088/0264-9381/18/23/311.
- ^ 2.0 2.1 2.2 The dimonogon. weddslist.com. [2022-12-15]. （原始内容于2021-07-31）.
- ^ The 3-hosohedron. weddslist.com. [2022-12-15]. （原始内容于2022-12-15）.
- ^ Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 14 4th, Springer Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-09212-6
- ^ Coxeter 1980 [4], 8.3 Maps of type {4,4} on a torus.
- ^ 6.0 6.1 S2:{8,4}. weddslist.com. [2022-12-15].
- ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 Regular maps in the orientable surface of genus 2. weddslist.com. [2022-12-15]. （原始内容于2022-11-29）.
- ^ 8.0 8.1 S2:{6,6}. weddslist.com. [2022-12-15].
- ^ 9.0 9.1 S2:{5,10}. weddslist.com. [2022-12-15].
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- ^ S3:{8,8}4. weddslist.com. [2022-12-15].
- ^ S3:{8,8}2. weddslist.com. [2022-12-15].
- ^ Regular maps in the orientable surface of genus 4. weddslist.com. [2022-12-15]. （原始内容于2021-10-19）.
- ^ The hemi-4-hosohedron. weddslist.com. [2022-12-15]. （原始内容于2020-02-01）.
- ^ The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
- ^ Conway (2008)[15], p. 263