調和分析 ，也稱為諧波分析 （英語：Harmonic analysis ），是數學 中的一個分支，是由基本波 的叠加 來表示其他函数 或是信號 ，並且研究及擴展傅里叶级数 及傅里叶变换 （也是傅里叶分析 的擴展）。自十九世紀以來，調和分析已用在許多的領域中，像是信號處理 、量子力學 、潮汐理論 神经科学 。
光的調和分析。圖中是紅光和其他波長光線的相互作用。若波長差為λ/2（半波長），紅光完全的和二次諧波紫光同相位。圖中所有其他的光和紅光的波長差都小於λ/2，因此合成波中會出現諧波振盪。若波長差是λ/14，每14個週期都會出現一次振盪。若波長差是λ/8，每8個週期都會出現一次振盪。振盪在λ/4波長差時最為頻繁，每4個週期出現一次振盪，若波長差為λ/3，每7個週期出現一次振盪。若波長差為λ/2.5，每13個週期出現一次振盪。
R n f 上加上一些條件，也會試圖將此條件轉換到f 的傅里叶变换上。培力-威納定理 f 是一個緊支撐 下的非零分布（這裡包括緊支撐下的函數），則其傅里叶变换一定不會是緊支撐。這是調和分析 下不确定性原理 的一個基本形式。
調和分析中的調和（harmonic，或稱為諧波 ）起源自古希臘文harmonikos，意思是「有音樂上的技巧」[1] 特徵值 問題中，開始用harmonic一詞表示某些特定的波，其頻率是其他波頻率的整數倍 ，就像泛音列 的頻率是第一泛音的整數倍一様，後來這個詞也漸漸擴展，超過原來的意思。
傅里叶级数也常用希尔伯特空间 的方式來進行研究，因此調和分析和泛函分析 也有一些關係。
抽象調和分析 調和分析中最現代的一個分支，是在二十世紀中出現的，是對拓扑群 的分析 。其核心概念是許多不同的傅里叶变换 ，可以擴展為定義在豪斯多夫 局部緊緻群
阿贝尔 局部緊緻群 龐特里亞金對偶性 。
調和分析研究對偶性和傅里叶变换的性質，設法將其性質延伸到不同的情形下（例如非阿贝尔的李群 ）。
對於一般性非阿贝尔的局部緊緻群，調和分析和么正表現 理論有密切關係。若是緊緻群，彼得-魏尔定理 可以解釋在每一個等價表現中，要如何選擇不可約表現 來得到調和函數。調和函數的選擇可以用到一些傳統傅里叶变换的特性，例如用單點的乘積來進行卷積，或是對於其底層群 的結構有更多的認識。可參考非交換調和分析
若此群不是阿贝尔群，也不是緊緻群，目前還沒有找到令人滿意（至少要像普蘭切雷爾定理 SLn 維度 的群表示論 扮演了重要角色。
其他分支
相關條目 傅立葉級數的收斂 調和 (數學) 譜密度估計 塔特的論文
參考資料 ^ 存档副本. [2017-01-07 ] . （原始内容于2017-03-14）. ^ Terras, Audrey. 2nd. New York, NY: Springer. 2013: 37 [12 December 2017] . ISBN 978-1461479710
調和分析, 此條目需要精通或熟悉数学的编者参与及协助编辑, 2017年1月7日, 請邀請適合的人士改善本条目, 更多的細節與詳情請參见討論頁, 另見其他需要数学專家關注的頁面, 也稱為諧波分析, 英語, harmonic, analysis, 是數學中的一個分支, 是由基本波的叠加來表示其他函数或是信號, 並且研究及擴展傅里叶级数及傅里叶变换, 也是傅里叶分析的擴展, 自十九世紀以來, 已用在許多的領域中, 像是信號處理, 量子力學, 潮汐理論, 英语, theory, tides, 及神经科学, 光的, 圖中是紅. 此條目需要精通或熟悉数学的编者参与及协助编辑 2017年1月7日 請邀請適合的人士改善本条目 更多的細節與詳情請參见討論頁 另見其他需要数学專家關注的頁面 調和分析 也稱為諧波分析 英語 Harmonic analysis 是數學中的一個分支 是由基本波的叠加來表示其他函数或是信號 並且研究及擴展傅里叶级数及傅里叶变换 也是傅里叶分析的擴展 自十九世紀以來 調和分析已用在許多的領域中 像是信號處理 量子力學 潮汐理論 英语 Theory of tides 及神经科学 光的調和分析 圖中是紅光和其他波長光線的相互作用 若波長差為l 2 半波長 紅光完全的和二次諧波紫光同相位 圖中所有其他的光和紅光的波長差都小於l 2 因此合成波中會出現諧波振盪 若波長差是l 14 每14個週期都會出現一次振盪 若波長差是l 8 每8個週期都會出現一次振盪 振盪在l 4波長差時最為頻繁 每4個週期出現一次振盪 若波長差為l 3 每7個週期出現一次振盪 若波長差為l 2 5 每13個週期出現一次振盪 Rn以下的經典傅里叶变换目前仍然是一個正在研究的領域 特別是將傅里叶变换應用在一些較廣義的概念下 例如缓增广义函数 tempered distribution 例如若在某一分佈f上加上一些條件 也會試圖將此條件轉換到f的傅里叶变换上 培力 威納定理 英语 Paley Wiener theorem 即為此例 培力 威納定理指出若f是一個緊支撐下的非零分布 這裡包括緊支撐下的函數 則其傅里叶变换一定不會是緊支撐 這是調和分析下不确定性原理的一個基本形式 調和分析中的調和 harmonic 或稱為諧波 起源自古希臘文harmonikos 意思是 有音樂上的技巧 1 在物理的特徵值問題中 開始用harmonic一詞表示某些特定的波 其頻率是其他波頻率的整數倍 就像泛音列的頻率是第一泛音的整數倍一様 後來這個詞也漸漸擴展 超過原來的意思 傅里叶级数也常用希尔伯特空间的方式來進行研究 因此調和分析和泛函分析也有一些關係 目录 1 抽象調和分析 2 其他分支 3 相關條目 4 參考資料抽象調和分析 编辑調和分析中最現代的一個分支 是在二十世紀中出現的 是對拓扑群的分析 其核心概念是許多不同的傅里叶变换 可以擴展為定義在豪斯多夫局部緊緻群 英语 locally compact group 上的函數變換 阿贝尔局部緊緻群 英语 locally compact group 的調和分析稱為龐特里亞金對偶性 調和分析研究對偶性和傅里叶变换的性質 設法將其性質延伸到不同的情形下 例如非阿贝尔的李群 對於一般性非阿贝尔的局部緊緻群 調和分析和么正表現理論有密切關係 若是緊緻群 彼得 魏尔定理可以解釋在每一個等價表現中 要如何選擇不可約表現來得到調和函數 調和函數的選擇可以用到一些傳統傅里叶变换的特性 例如用單點的乘積來進行卷積 或是對於其底層群的結構有更多的認識 可參考非交換調和分析 英语 Non commutative harmonic analysis 若此群不是阿贝尔群 也不是緊緻群 目前還沒有找到令人滿意 至少要像普蘭切雷爾定理 英语 Plancherel theorem 一樣有力 的理論 不過目前已分析了許多特例 例如SLn 英语 Special linear group 在此例中 無限維度的群表示論扮演了重要角色 其他分支 编辑針對區域 流形 甚至是图上拉普拉斯算子其特征值和特征向量的研究 也是調和分析的一個分支 例如聽出鼓的形狀 2 歐氏空間下的調和分析會處理Rn上的傅里叶变换 其中一些在一般群裡沒有的性質 例如傅里叶变换具有旋轉不變性 將傅里叶变换分解為軸向和球面分量 就會和贝塞尔函数和球谐函数等主題有關 tube域上的調和分析和將哈代空間的性質擴展到高維空間有關 相關條目 编辑傅立葉級數的收斂 英语 Convergence of Fourier series 調和 數學 英语 Harmonic mathematics 譜密度估計 英语 Spectral density estimation 塔特的論文 英语 Tate s thesis 參考資料 编辑 存档副本 2017 01 07 原始内容存档于2017 03 14 Terras Audrey Harmonic Analysis on Symmetric Spaces Euclidean Space the Sphere and the Poincare Upper Half Plane 2nd New York NY Springer 2013 37 12 December 2017 ISBN 978 1461479710 原始内容存档于2022 05 04 取自 https zh wikipedia org w index php title 調和分析 amp oldid 73696961, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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