支撑集

支撑集（英語：support，简称支集），是一个数学概念，它是集合${\displaystyle X}$的一个子集，要求对给定的${\displaystyle X}$上定义的实值函数${\displaystyle f}$在这个子集上恰好非0。最常见的情形是，${\displaystyle X}$是一个拓扑空间，比如实数轴等等，而函数${\displaystyle f}$在此拓扑下连续。此时，${\displaystyle f}$的支撑集被定义为这样一个闭集${\displaystyle C}$：${\displaystyle f}$在${\displaystyle X\backslash C}$中为${\displaystyle {0}}$，且不存在${\displaystyle C}$的真闭子集也满足这个条件，即，${\displaystyle C}$是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包。

特别地，在概率论中，一个概率分布是随机变量的所有可能值组成的集合的闭包。

闭支撑

常见的情况出现为：${\displaystyle X}$ 是一个拓扑空间（例如实轴或n维欧几里得空间），并且${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ 是连续的实值函数（或复值函数）。此时，${\displaystyle f}$ 的支撑在拓扑上定义为使得${\displaystyle f}$ 非零的${\displaystyle X}$ 子集的闭包^[1][2][3] ，即：

$${\displaystyle \operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{c}\right)}}.}$$

 

由于闭集的交集也是闭集，所以${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ 是集合论中所有包含${\displaystyle f}$ 支撑的闭集的交集。

例如，${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ 定义如下：

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$$

 

${\displaystyle f}$ 的支撑是闭区间${\displaystyle [-1,1]}$ ，因为${\displaystyle f}$ 在开区间${\displaystyle (-1,1)}$ 非零，其闭包为${\displaystyle [-1,1]}$ 。

闭支撑的概念通常用于描述连续函数，但该定义对拓扑空间上的任意实值或复值函数都有意义，有些作者不要求 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ （或 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ 不需要）连续。^[4]

紧支撑

如果某函数的支撑集是 ${\displaystyle X}$  中的一个紧集，此函数被称为是紧支撑於空间 ${\displaystyle X}$  的。例如，若 ${\displaystyle X}$  是实数轴，那么所有在无穷远处消失的函数都是紧支撑的。事实上，这是函数必须在有界集外为${\displaystyle 0}$ 的一个特例。在好的情形下，紧支撑的函数所构成的集合，在所有在无穷远处消失的函数构成的集合中，是稠密集的，当然在给定的具体问题中，这一点可能需要相当的工作才能验证。例如对于任何给定的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，一个定义在实数轴 ${\displaystyle X}$  上的函数 ${\displaystyle f}$  在无穷远处消失，可以粗略通过选取一个紧子集 ${\displaystyle C}$  来描述：

${\displaystyle |f(x)-1_{C}(x)f(x)|<\epsilon }$ 

其中 ${\displaystyle 1_{C}(x)}$  表示 ${\displaystyle C}$  的指示函数。

注意，任何定义在紧空间上的函数都是紧支撑的。

当然也可以更一般地，将支撑集的概念推广到分布，比如狄拉克函数：定义在直线上的 ${\displaystyle \delta (x)}$ 。此时，我们考虑一个测试函数 ${\displaystyle F}$ ，并且 ${\displaystyle F}$  是光滑的，其支撑集不包括 ${\displaystyle 0}$ 。由于 ${\displaystyle \delta (F)}$  （即 ${\displaystyle \delta }$  作用于 ${\displaystyle F}$ ）为 ${\displaystyle 0}$ ，所以我们说 ${\displaystyle \delta }$  的支撑集为 ${\displaystyle \{0\}}$ 。注意实数轴上的测度（包括概率测度）都是分布的特殊情况，所以我们也可以定义一个测度支撑集。

奇支集

在傅立叶分析的研究中，一个分布的奇支集或奇异支集有非常重要的意义。 直观地说，这个集合的元素都是所谓的奇异点，即使得这个分布不能局部地看作一个函数的点。

例如，单位阶跃函数的傅立叶变换，在忽略常数因子的情况下，可以被认为是${\displaystyle 1/x}$ ，但这在${\displaystyle x=0}$ 时是不成立的。所以很明显地，${\displaystyle x=0}$ 是一个特殊的点，更准确地说，这个分布的傅立叶变换的奇支集是${\displaystyle \{0\}}$ ，即对于一个支撑集包括${\displaystyle 0}$ 的测试函数而言，这个分布的作用效果不能表示为某个函数的作用。当然这个分布可以表示为一个柯西主值意义下的瑕积分。

对于多变量的分布，奇支集也可以更精确地被描述为波前集，从而可以利用数学分析来理解惠更斯原理。奇支集也可以用来研究分布理论中的特殊现象，如在试图将分布'相乘'时候导致的问题（狄拉克函数的平方是不存在的，因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交）。

支撑族

支撑族是一个抽象的拓扑概念，昂利·嘉当在一个层中定义了这个概念。在将庞加莱对偶性推广到非紧的流形上的时候，在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的。

Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。${\displaystyle X}$ 的一组闭子集${\displaystyle \Phi }$ 是一个支撑族，如果它是下闭的并且它的有限并也是闭的。它的扩张是${\displaystyle \Phi }$ 的并。一个仿紧化(paracompactifying)的支撑族对于任何${\displaystyle Y\in \Phi }$ ，在子空间拓扑意义下是一个仿紧空间，并且存在一些${\displaystyle Z\in Pi}$ 是一个邻域。如果${\displaystyle X}$ 是一个局部紧空间，并且是豪斯多夫空间，所有的紧子集组成的族满足上的条件，那么就是仿紧化的。

参考文献

1. Folland, Gerald B. Real Analysis, 2nd ed.. New York: John Wiley. 1999: 132. 
2. Hörmander, Lars. Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed.. Berlin: Springer-Verlag. 1990: 14. 
3. Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Bocconi & Springer Series. Berlin: Springer-Verlag. 2011: 678. ISBN 978-88-470-1780-1. doi:10.1007/978-88-470-1781-8. 
4. Rudin, Walter. Real and Complex Analysis, 3rd ed.. New York: McGraw-Hill. 1987: 38.