数学, 此條目需要精通或熟悉數學的编者参与及协助编辑, 請邀請適合的人士改善本条目, 更多的細節與詳情請參见討論頁, 另見其他需要數學專家關注的頁面, 英語, ball, 在數學裡, 是指球面內部的空間, 球可以是封閉的, 包含球面的邊界點, 稱為閉球, 也可以是開放的, 不包含邊界點, 稱為開球, 一个球在歐氏空間裡, 球是指球面的內部, 球的概念不只存在於三維歐氏空間裡, 亦存在於較低或較高維度, 以及一般度量空間裡, displaystyle, 維空間裡的球稱為n, displaystyle, 維球, 且包含. 此條目需要精通或熟悉數學的编者参与及协助编辑 請邀請適合的人士改善本条目 更多的細節與詳情請參见討論頁 另見其他需要數學專家關注的頁面 球 英語 ball 在數學裡 是指球面內部的空間 球可以是封閉的 包含球面的邊界點 稱為閉球 也可以是開放的 不包含邊界點 稱為開球 一个球在歐氏空間裡 球是指球面的內部 球的概念不只存在於三維歐氏空間裡 亦存在於較低或較高維度 以及一般度量空間裡 n displaystyle n 維空間裡的球稱為n displaystyle n 維球 且包含於n 1 displaystyle n 1 維球面內 因此 在歐氏平面裡 球為一圓盤 包含在圓內 在三維空間裡 球則是指在二維球面邊界內的空間 目录 1 歐氏空間裡的球 1 1 體積 2 一般度量空間裡的球 3 賦範向量空間裡的球 3 1 p 範數 3 2 一般凸範數 4 拓撲空間裡的球 4 1 開集 4 2 拓撲球 5 另見 6 参考文献 7 参见歐氏空間裡的球 编辑在 n displaystyle n nbsp 維歐氏空間裡 一個中心為 x displaystyle x nbsp 半徑為 r displaystyle r nbsp 的 n displaystyle n nbsp 維 開 球是個由所有距 x displaystyle x nbsp 的距離小於 r displaystyle r nbsp 的點所組成之集合 一個中心為 x displaystyle x nbsp 半徑為 r displaystyle r nbsp 的 n displaystyle n nbsp 維閉球是個由所有距 x displaystyle x nbsp 的距離小於等於 r displaystyle r nbsp 的點所組成之集合 在 n displaystyle n nbsp 維歐氏空間裡 每個球都是某個超球面內部的空間 在一維時 球是個有界的區間 在二維時 是某個圓的內部 圓盤 而在三維時 則是某個球面的內部 體積 编辑 主条目 n維球的體積在 n displaystyle n nbsp 維歐氏空間裡 半徑 R displaystyle R nbsp 的球之 n displaystyle n nbsp 維體積為 1 V n R p n 2 G n 2 1 R n displaystyle V n R frac pi n 2 Gamma frac n 2 1 R n nbsp 其中 G是李昂哈德 歐拉的G函數 可被視為階乘在實數的延伸 使用G函數在整數與半整數時的公式 可不需要估算G函數即可計算出球的體積 V 2 k R p k k R 2 k displaystyle V 2k R frac pi k k R 2k nbsp V 2 k 1 R 2 k 1 p k 2 k 1 R 2 k 1 2 k 4 p k 2 k 1 R 2 k 1 displaystyle V 2k 1 R frac 2 k 1 pi k 2k 1 R 2k 1 frac 2 k 4 pi k 2k 1 R 2k 1 nbsp 在奇數維度時的體積公式裡 對每個奇數2 k 1 displaystyle 2k 1 nbsp 雙階乘 2k 1 定義為 2k 1 1 3 5 2k 1 2k 1 一般度量空間裡的球 编辑令 M d 為一度量空間 即具有度量 距離函數 d 的集合 M 中心為 M 內的點 p 半徑為 r gt 0 的開球 通常標計為 Br p 或 B p r 定義為 B r p x M d x p lt r displaystyle B r p x in M mid d x p lt r nbsp 其閉球 可標計為 Br p 或 B p r 則定義為 B r p x M d x p r displaystyle B r p x in M mid d x p leq r nbsp 請特別注意 一個球 無論開放或封閉 總會包含點 p 因為依定義 r gt 0 開球的閉包通常標記為 B r p displaystyle overline B r p nbsp 雖然 B r p B r p displaystyle B r p subseteq overline B r p nbsp 與 B r p B r p displaystyle overline B r p subseteq B r p nbsp 總是成立的 但 B r p B r p displaystyle overline B r p B r p nbsp 則不一定總是為真 舉例來說 在一個具離散度量的度量空間 X 裡 對每個 X 內的 p 而言 B 1 p p displaystyle overline B 1 p p nbsp 但 B 1 p X displaystyle B 1 p X nbsp 一個 開或閉 單位球為一半徑為 1 的球 度量空間的子集是有界的 若該子集包含於某個球內 一個集合是全有界的 若給定一正值半徑 該集合可被有限多個具該半徑的球所覆蓋 度量空間裡的開球為拓撲空間裡的基 其中所有的開集合均為某些 有限或無限個 開球的聯集 該拓撲空間被稱為由度量 d 導出之拓撲 賦範向量空間裡的球 编辑每個具範數 的賦範向量空間亦為一度量空間 其中度量 d x y x y 在此類空間裡 每個球 Br p 均可視為是單位球 B1 0 平移 p 再縮放 r 後所得之集合 前面討論的歐氏空間裡的球亦為賦範向量空間裡球的一例 p 範數 编辑 在具 p 範數 Lp 的笛卡爾空間 R n displaystyle mathbb R n nbsp 裡 開球是指集合 B r x R n i 1 n x i p lt r p displaystyle B r left x in mathbb R n sum i 1 n left x i right p lt r p right nbsp 在二維 n 2 時 L1 通常稱為曼哈頓度量 的球是對角線平行於坐標軸的正方形 而 L 切比雪夫度量 的球則是個邊平行於坐標軸的正方形 對於 p 的其他值 該球則會是超橢圓的內部 在三維 n 3 時 L1 的球是個對角線平行為坐標軸的八面體 而 L 的球則是個邊平行為坐標軸的正立方體 對於 p 的其他值 該球則會是超橢球的內部 一般凸範數 编辑 更一般性地 給定任一 Rn 內中心對稱 有界 開放且凸的集合 X 均可定義一個在 Rn 的範數 該球均為 X 平移再一致縮放後所得之集合 須注意 若將此定理內的 開 子集以 閉 子集替代 則定理不能成立 因為原點也符合定理內所定之集合 但無法定義 Rn 內的範數 拓撲空間裡的球 编辑在拓撲學的文獻裡 球 可能有两種含义 由上下文决定 開集 编辑 开 球 一词有时被非正式地用于指代任何开集 可以用 p 点周围的一个球 代表包含p 的一个开集 该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集 同样 闭球 有时用于表示这样一个开集的闭包 这可能产生误导 例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包 它们都是既开且闭的 有时 邻域用于指代这个意义上的球 但是邻域其实有更一般的意义 p 的一个邻域是任何包含一个p 的开集的集合 因此通常不是开集 拓撲球 编辑 X 內的 n 維 開或閉 拓撲球是指 X 內同胚於 n 維 開或閉 歐幾里得球的任一子集 該子集不一定需要由某個度量導出 n 維拓撲球在組合拓撲學裡很重要 為建構胞腔復形的基礎 任一 n 維開拓撲球均同胚於笛卡爾空間 Rn 及 n 維開單位超方形 0 1 n R n displaystyle 0 1 n subseteq mathbb R n nbsp 任一 n 維閉拓撲球均同胚於 n 維閉超方形 0 1 n n 維球同胚於 m 維球 若且唯若 n m n 維開球 B 與 Rn 間的同胚可分成兩種類型 以 B 的兩種可能之拓撲定向來區分 一個 n 維拓撲球不一定是光滑的 若該球是光滑的 亦不一定需微分同胚於一 n 維歐幾里得球 另見 编辑球 一般常見的意義 圓盤 形式球 將球的半徑延伸至負值 鄰域 三維球面 n維球面 超球面 亞歷山大帶角球 英语 Alexander horned sphere 流形 n維球的體積 英语 Volume of an n ball 正八面體 ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp 度量下的三維球球殼 英语 Spherical shell 橢球 球缺 半球参考文献 编辑 NIST Digital Library of Mathematical Functions 5 19 iii n Dimensional Sphere 2015 09 28 原始内容存档于2021 04 22 D J Smith and M K Vamanamurthy How small is a unit ball Mathematics Magazine 62 1989 101 107 Robin conditions on the Euclidean ball J S Dowker 1 Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball Peter M Gruber 2 永久失效連結 参见 编辑 nbsp 数学主题 取自 https zh wikipedia org w index php title 球 数学 amp oldid 72069904, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,