在幾何學 中，截角截半大十二面體 又稱為星形截角截半大十二面體 是一種由30個正方形 、12個十角星 和12個正十邊形 組成的星形均勻多面體 。
截角截半大十二面體 類別 星形均勻多面體 對偶多面體 內側雙二方三十面體 識別 名稱 截角截半大十二面體 參考索引 U 59 , C 75 , W 98 鮑爾斯縮寫 quitdid 數學表示法 考克斯特符號 施萊夫利符號 t0,1,2 {5 /3 ,5} 威佐夫符號 2 5 5 /3 | 性質 面 54 邊 180 頂點 120 歐拉特徵數 F=54, E=180, V=120 （χ=-6） 組成與佈局 面的種類 30個正方形 十角星 [1] 面的佈局 30{4}+12{10}+12{10 /3 } 頂點圖 4.10 /9 .10 /3 對稱性 對稱群 Ih , [5,3], *532 特性 頂點正、非凸 圖像
命名 编辑 截角截半大十二面體（truncated dodecadodecahedron）一名稱是由考克斯特、朗格·希金斯與米勒的論文《均勻多面體》中給出[2] 截半大十二面體 （dodecadodecahedron），然而若直接將截半大十二面體套用截角變換並無法形成如施萊夫利符號計為t0,1,2 {5/3,5}之立體中的那種十角星，僅能形成截角的五角星。
而施萊夫利符號計為t0,1,2 {5/3,5}之立體雖被考克斯特稱為截角截半大十二面體（truncated dodecadodecahedron），而根據其論文的描述，其所套用之截角變換應為星形截角 。[3] 擬截角截半大十二面體 （truncated dodecadodecahedron）[4] [5] [6]
性質 编辑 截角截半大十二面體由30個正方形 、12個十角星和12個正十邊形組成[1] [7]
分類 编辑 由於截角截半大十二面體的頂點圖為不等邊三角形 且具備點可遞的特性，同時，其存在自相交的面，並可以透過星形正多面體進行廣義截角 來構造，因此截角截半大十二面體是一種自相交截角擬正多面體（Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra）。自相交截角擬正多面體一共有五種，分別為立方截角立方八面體 星形截角截半立方體 、二十面截角十二面十二面體 、截角截半大十二面體 和大截角截半二十面體 。[8] [9] [10]
面的組成 编辑 截角截半大十二面體是一個五十四面體，在其54個面中，有30個面是正方形面、有12個面是十角星面以及12個面是正十邊形面[11] [12] [13]
尺寸 编辑 由於星形多面體有面自我相交的情形，因此其內部區域不易定義，因此體積亦不易定義，但要了解這種形狀的尺寸也可以透過其邊長與外接球半徑來了解。若截角截半大十二面體的邊長為單位長，則該截角截半大十二面體的外接球半徑R為：[12]
R = 11 2 {\displaystyle R={\frac {\sqrt {11}}{2}}} 二面角 编辑 截角截半大十二面體有三種二面角，一個是正方形與十角星的交稜，其角度約為148.28度、一個是正方形與十邊形的交稜，其角度約為58.28度以及十角星與十邊形的交稜，其角度約為63.43度。[14]
正方形{4}與十角星{10/3}的交稜角度為[14]
cos − 1 − 5 + 5 10 ≈ 148.282526 ∘ {\displaystyle \cos ^{-1}-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\approx 148.282526^{\circ }} 正方形{4}與十邊形{10}的交稜角度為[14]
cos − 1 5 − 5 10 ≈ 58.282526 ∘ {\displaystyle \cos ^{-1}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\approx 58.282526^{\circ }} 十邊形{10}與十角星{10/3}的交稜角度為[14]
cos − 1 1 5 ≈ 63.434949 ∘ {\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\approx 63.434949^{\circ }} 作為凱萊圖 编辑 截角截半大十二面體可以生成由交換前兩個元素的五成員之多元組、在末四元素套用循環位移運算，2種群成員生成的在5個元素上對稱之對稱群的凱萊圖 。也就是說，截角截半大十二面體的120個頂點可以一對一地對應到5個物體的排列（5!）狀態上。其交換方式為交換前2個元素或後四個元素循環交換，其造成的結果為每種排列狀態都只有三種只能透過一次變換（前2個元素或後四個元素循環交換）達成的排列狀態，可以理解為每個頂點都只有3個相鄰元素，與截角截半大十二面體結構相同。[15]
參見 编辑 參考文獻 编辑 ^ 1.0 1.1 60. Quitdid, Polyhedron Category 5: Omnitruncates. polytope.net. [2019-10-05 ] . （原始内容于2018-07-02）. ^ 2.0 2.1 2.2 Uniform polyhedra. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1954-05-13, 246 (916): 401–450 [2020-05-04 ] . ISSN 0080-4614 . doi:10.1098/rsta.1954.0003 . （原始内容于2020-09-18） （英语） . ^ Coxeter，Longuet-Higgins & Miller (1954 ),[2] ^ Wenninger, Magnus J., 98 Quasitruncated dodecahedron, Polyhedron Models, Cambridge University Press: 152–153, 1971 ^ Pitsch, Johann, Über halbreguläre Sternpolyeder, Zeitschrift für das Realschulwesen, 1881, 6 : 9–24, 72–89, 216 ^ Coxeter，Longuet-Higgins & Miller (1954 ),[2] ^ Augmenting the stellatruncated dodecadodecahedron. orchidpalms.com. [2019-10-05 ] . （原始内容于2010-01-29）. ^ David I. McCooey. Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-19 ] . （原始内容于2022-02-14）. ^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172. ^ Johann Pitsch. Über Halbreguläre Sternpolyeder. Zeitschrift für das Realschulwesen. 1881, (6): 9–24, 64–65, 72–89, 216. ^ Robert M. Peffer. U59 Truncated Dodecadodecahedron. robssandbox.com. 2019-02-13 [2019-10-09 ] . ^ 12.0 12.1 Weisstein, Eric W. (编). Truncated Dodecadodecahedron. at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Barnes, John, Gems of Geometry, Springer: 28–29, 2012 [2019-10-09 ] , ISBN 9783642309649 ^ 14.0 14.1 14.2 14.3 Klitzing, Richard. quitdid, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2019-10-05 ] . （原始内容于2016-03-26）. ^ David Eppstein. The Topology of Bendless Three-Dimensional Orthogonal Graph Drawing 5417 . Springer Berlin Heidelberg. 2009: 78–89 [2020-05-04 ] . ISBN 9783642002182doi:10.1007/978-3-642-00219-9_9 . 外部連結 编辑
截角截半大十二面體, 在幾何學中, 又稱為星形是一種由30個正方形, 12個十角星和12個正十邊形組成的星形均勻多面體, 類別星形均勻多面體對偶多面體內側雙二方三十面體, 英语, medial, disdyakis, triacontahedron, 識別名稱參考索引u59, w98鮑爾斯縮寫, verse, dimensions的wikia, bowers, acronym, quitdid數學表示法考克斯特符號, 英语, coxeter, dynkin, diagram, 施萊夫利符號t0, 威佐夫符號, 英语. 在幾何學中 截角截半大十二面體又稱為星形截角截半大十二面體是一種由30個正方形 12個十角星和12個正十邊形組成的星形均勻多面體 截角截半大十二面體類別星形均勻多面體對偶多面體內側雙二方三十面體 英语 Medial disdyakis triacontahedron 識別名稱截角截半大十二面體參考索引U59 C75 W98鮑爾斯縮寫 verse and dimensions的wikia Bowers acronym quitdid數學表示法考克斯特符號 英语 Coxeter Dynkin diagram 施萊夫利符號t0 1 2 5 3 5 威佐夫符號 英语 Wythoff symbol 2 5 5 3 性質面54邊180頂點120歐拉特徵數F 54 E 180 V 120 x 6 組成與佈局面的種類30個正方形12個十角星12個正十邊形 1 面的佈局 英语 Face configuration 30 4 12 10 12 10 3 頂點圖4 10 9 10 3對稱性對稱群Ih 5 3 532特性頂點正 非凸圖像4 10 9 10 3 頂點圖 內側雙二方三十面體 英语 Medial disdyakis triacontahedron 對偶多面體 查论编 目录 1 命名 2 性質 2 1 分類 2 2 面的組成 2 3 尺寸 2 4 二面角 3 作為凱萊圖 4 參見 5 參考文獻 6 外部連結命名 编辑截角截半大十二面體 truncated dodecadodecahedron 一名稱是由考克斯特 朗格 希金斯與米勒的論文 均勻多面體 中給出 2 然而這個名稱有歧義 截角截半大十二面體 truncated dodecadodecahedron 是指通過截角變換 truncated 的截半大十二面體 dodecadodecahedron 然而若直接將截半大十二面體套用截角變換並無法形成如施萊夫利符號計為t0 1 2 5 3 5 之立體中的那種十角星 僅能形成截角的五角星 nbsp 截半大十二面體 nbsp 較淺的截角截半大十二面體 nbsp 較深的截角截半大十二面體 nbsp 星形截角截半大十二面體 nbsp 五角星的截角 t 5 2 與星形截角 t 5 3 而施萊夫利符號計為t0 1 2 5 3 5 之立體雖被考克斯特稱為截角截半大十二面體 truncated dodecadodecahedron 而根據其論文的描述 其所套用之截角變換應為星形截角 3 而溫尼爾將其稱為擬截角截半大十二面體 truncated dodecadodecahedron 4 考克斯特學者等人將截角截半大十二面體的發現歸功於奧地利數學家約翰 皮奇於1881年發表的一篇論文上 5 6 性質 编辑截角截半大十二面體由30個正方形 12個十角星和12個正十邊形組成 1 每個頂點都是1個十邊形 1個十角星和1個正方形的公共頂點 在頂點圖中可以用 10 10 3 4 表示 7 分類 编辑 由於截角截半大十二面體的頂點圖為不等邊三角形且具備點可遞的特性 同時 其存在自相交的面 並可以透過星形正多面體進行廣義截角來構造 因此截角截半大十二面體是一種自相交截角擬正多面體 Self Intersecting Truncated Quasi Regular Polyhedra 自相交截角擬正多面體一共有五種 分別為立方截角立方八面體 星形截角截半立方體 二十面截角十二面十二面體 截角截半大十二面體和大截角截半二十面體 8 這些立體由阿爾伯特 巴杜羅 Albert Badoureau 和約翰 皮奇 Johann Pitsch 於1881年發現並描述 9 10 面的組成 编辑 截角截半大十二面體是一個五十四面體 在其54個面中 有30個面是正方形面 有12個面是十角星面以及12個面是正十邊形面 11 其中 十角星為施萊夫利符號計為 10 3 的十角星 12 其中所述第二數字為繪製十角星時頂點間隔數 13 在這種十角星中邊相交的比例為 nbsp 尺寸 编辑 由於星形多面體有面自我相交的情形 因此其內部區域不易定義 因此體積亦不易定義 但要了解這種形狀的尺寸也可以透過其邊長與外接球半徑來了解 若截角截半大十二面體的邊長為單位長 則該截角截半大十二面體的外接球半徑R為 12 R 11 2 displaystyle R frac sqrt 11 2 nbsp 二面角 编辑 截角截半大十二面體有三種二面角 一個是正方形與十角星的交稜 其角度約為148 28度 一個是正方形與十邊形的交稜 其角度約為58 28度以及十角星與十邊形的交稜 其角度約為63 43度 14 正方形 4 與十角星 10 3 的交稜角度為 14 cos 1 5 5 10 148 282526 displaystyle cos 1 sqrt frac 5 sqrt 5 10 approx 148 282526 circ nbsp 正方形 4 與十邊形 10 的交稜角度為 14 cos 1 5 5 10 58 282526 displaystyle cos 1 sqrt frac 5 sqrt 5 10 approx 58 282526 circ nbsp 十邊形 10 與十角星 10 3 的交稜角度為 14 cos 1 1 5 63 434949 displaystyle cos 1 frac 1 sqrt 5 approx 63 434949 circ nbsp 作為凱萊圖 编辑截角截半大十二面體可以生成由交換前兩個元素的五成員之多元組 在末四元素套用循環位移運算 2種群成員生成的在5個元素上對稱之對稱群的凱萊圖 也就是說 截角截半大十二面體的120個頂點可以一對一地對應到5個物體的排列 5 狀態上 其交換方式為交換前2個元素或後四個元素循環交換 其造成的結果為每種排列狀態都只有三種只能透過一次變換 前2個元素或後四個元素循環交換 達成的排列狀態 可以理解為每個頂點都只有3個相鄰元素 與截角截半大十二面體結構相同 15 參見 编辑大十二面體參考文獻 编辑 1 0 1 1 60 Quitdid Polyhedron Category 5 Omnitruncates polytope net 2019 10 05 原始内容存档于2018 07 02 2 0 2 1 2 2 Uniform polyhedra Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A Mathematical and Physical Sciences 1954 05 13 246 916 401 450 2020 05 04 ISSN 0080 4614 doi 10 1098 rsta 1954 0003 原始内容存档于2020 09 18 英语 Coxeter Longuet Higgins amp Miller 1954 2 quasitruncation p 411 Fig 114 Plate IV Wenninger Magnus J 98 Quasitruncated dodecahedron Polyhedron Models Cambridge University Press 152 153 1971 Pitsch Johann Uber halbregulare Sternpolyeder Zeitschrift fur das Realschulwesen 1881 6 9 24 72 89 216 Coxeter Longuet Higgins amp Miller 1954 2 the truncated dodecadodecahedron no XII on p 86 Augmenting the stellatruncated dodecadodecahedron orchidpalms com 2019 10 05 原始内容存档于2010 01 29 David I McCooey Self Intersecting Truncated Quasi Regular Polyhedra 2022 08 19 原始内容存档于2022 02 14 Jean Paul Albert Badoureau Memoire sur les Figures Isoceles Journal de l Ecole polytechnique 1881 49 47 172 Johann Pitsch Uber Halbregulare Sternpolyeder Zeitschrift fur das Realschulwesen 1881 6 9 24 64 65 72 89 216 Robert M Peffer U59 Truncated Dodecadodecahedron robssandbox com 2019 02 13 2019 10 09 12 0 12 1 Weisstein Eric W 编 Truncated Dodecadodecahedron at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 Barnes John Gems of Geometry Springer 28 29 2012 2019 10 09 ISBN 9783642309649 原始内容存档于2019 06 08 14 0 14 1 14 2 14 3 Klitzing Richard quitdid Polytopes amp their Incidence Matrices bendwavy org 2019 10 05 原始内容存档于2016 03 26 David Eppstein The Topology of Bendless Three Dimensional Orthogonal Graph Drawing 5417 Springer Berlin Heidelberg 2009 78 89 2020 05 04 ISBN 9783642002182 doi 10 1007 978 3 642 00219 9 9 外部連結 编辑埃里克 韦斯坦因 截角截半大十二面體 MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 截角截半大十二面體 amp oldid 75152202, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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