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欧拉公式, 此條目介紹的是複分析中的歐拉公式, 关于代数拓扑或者多面體的歐拉公式, 请见, 歐拉示性数, 提示, 此条目的主题不是歐拉定理, 歐拉公式, 英語, euler, formula, 又稱尤拉公式, 是複分析领域的公式, 它将三角函数與复指数函数关联起来, 因其提出者莱昂哈德, 歐拉而得名, 歐拉公式提出, 對任意实数, displaystyle, 都存在, displaystyle, 其中, displaystyle, 是自然对数的底数, displaystyle, 是虚数單位, displaystyl. 此條目介紹的是複分析中的歐拉公式 关于代数拓扑或者多面體的歐拉公式 请见 歐拉示性数 提示 此条目的主题不是歐拉定理 歐拉公式 英語 Euler s formula 又稱尤拉公式 是複分析领域的公式 它将三角函数與复指数函数关联起来 因其提出者莱昂哈德 歐拉而得名 歐拉公式提出 對任意实数 x displaystyle x 都存在 e i x cos x i sin x displaystyle e ix cos x i sin x 其中 e displaystyle e 是自然对数的底数 i displaystyle i 是虚数單位 而 cos displaystyle cos 和 sin displaystyle sin 則是餘弦 正弦對應的三角函数 参数 x displaystyle x 則以弧度为单位 1 這一複數指數函數有時還寫作 cis x 英語 cosine plus i sine 余弦加i 乘以正弦 由於該公式在 x displaystyle x 為複數時仍然成立 所以也有人將這一更通用的版本稱為歐拉公式 2 歐拉公式在数学 物理和工程领域应用广泛 物理学家理查德 费曼将歐拉公式称为 我们的珍宝 和 数学中最非凡的公式 3 当 x p displaystyle x pi 时 歐拉公式变为e i p 1 0 displaystyle e i pi 1 0 即歐拉恒等式 目录 1 历史 2 形式 3 证明 4 验证方法 5 cis函數 6 檢定和角公式 7 在複分析的應用 8 參見 9 参考资料历史 编辑約翰 伯努利注意到有 4 1 1 x 2 1 2 1 1 i x 1 1 i x displaystyle frac 1 1 x 2 frac 1 2 left frac 1 1 ix frac 1 1 ix right nbsp 并且由于 d x 1 a x 1 a ln 1 a x C displaystyle int frac dx 1 ax frac 1 a ln 1 ax C nbsp 上述公式通过把自然对数和复数 虚数 联系起来 告诉我们关于複對數的一些信息 然而伯努利并没有计算出这个积分 欧拉也知道上述方程 伯努利对欧拉的回应表明他还没有完全理解复对数 欧拉指出复对数可以有无穷多个值 与此同时 罗杰 柯特斯 英语 Roger Cotes 于 1714 年发现 5 i x ln cos x i sin x displaystyle ix ln cos x i sin x nbsp 由于三角函数的周期性 一个复数可以加上 2ip 的不同倍数 而它的复对数可以保持不变 1740年左右 欧拉把注意力从对数转向指数函数 得到了以他命名的欧拉公式 欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到 其实此证法存在问题 原因见验证方法 但结论正确 于1748年发表 6 5 大约50年之后 卡斯帕尔 韦塞尔提出可以把复数視做复平面中的点 形式 编辑参见 欧拉恒等式 nbsp 对于任意实数x displaystyle x nbsp 以下等式恆成立 e i x cos x i sin x displaystyle e ix cos x i sin x nbsp 由此也可以推导出 sin x e i x e i x 2 i displaystyle sin x frac e ix e ix 2i nbsp 及cos x e i x e i x 2 displaystyle cos x frac e ix e ix 2 nbsp 当x p displaystyle x pi nbsp 时 欧拉公式的特殊形式为 e i p 1 0 displaystyle e i pi 1 0 nbsp 证明 编辑首先 在复数域上对e x displaystyle e x nbsp 进行定义 对于a b R c a i b C displaystyle a b in mathbb R c a ib in mathbb C nbsp 规定e c lim n 1 c n n displaystyle e c lim n rightarrow infty 1 frac c n n nbsp 对复数的极坐标表示w u i v r cos 8 i sin 8 displaystyle w u iv r cos theta i sin theta nbsp 有 r u 2 v 2 R 8 arctan v u R displaystyle r sqrt u 2 v 2 in mathbb R theta arctan frac v u in mathbb R nbsp 且根据棣莫弗公式 w n u i v n r n cos n 8 i sin n 8 displaystyle w n u iv n r n cos n theta i sin n theta nbsp 从而有 1 a b i n n 1 a n i b n n r n cos 8 n i sin 8 n displaystyle 1 frac a bi n n 1 frac a n i frac b n n r n cos theta n i sin theta n nbsp 假设n gt a displaystyle n gt a nbsp 则 r n 1 a n 2 b n 2 n 2 8 n n arctan b n 1 a n displaystyle r n 1 frac a n 2 frac b n 2 frac n 2 theta n n arctan frac frac b n 1 frac a n nbsp 由於包含n在冪 所以要ln 从而有 lim n ln r n lim n n 2 ln 1 2 a n a 2 b 2 n 2 lim n n 2 2 a n a 2 b 2 n 2 a displaystyle begin aligned lim n rightarrow infty ln r n amp lim n rightarrow infty frac n 2 ln 1 frac 2a n frac a 2 b 2 n 2 amp lim n rightarrow infty frac n 2 frac 2a n frac a 2 b 2 n 2 amp a end aligned nbsp 這一步驟用到 ln 1 x x displaystyle ln 1 x approx x nbsp 墨卡托級數 即 lim n r n lim n e ln r n e a displaystyle lim n rightarrow infty r n lim n rightarrow infty e ln r n e a nbsp 又有 arctan x 約等於x 於0附近 lim n 8 n lim n n arctan b n 1 a n lim n n b n 1 a n b displaystyle begin aligned lim n rightarrow infty theta n amp lim n rightarrow infty n arctan frac frac b n 1 frac a n amp lim n rightarrow infty n frac frac b n 1 frac a n amp b end aligned nbsp 从而可以证明 lim n 1 a b i n n e a cos b i sin b displaystyle lim n rightarrow infty 1 frac a bi n n e a cos b i sin b nbsp 即 e a i b e a cos b i sin b displaystyle e a ib e a cos b i sin b nbsp 令a 0 displaystyle a 0 nbsp 可得欧拉公式 证毕 7 验证方法 编辑請注意 虽然下列方法 尤其是方法一 被广泛介绍 但由于在复数域中的泰勒级数展开 求导等运算均需要用到欧拉公式 造成循环论证 且有些方法在函数的定义域和性质上语焉不详 故而下列方法均应为检验方法 而非严谨的证明方法 对于类似方法也应注意甄别 雖然如此 比對此欄目在英文 日文和德文維基的對應欄目及Stewart的微積分 Rudin的數學分析原理 Bak的複分析和Gamelin的複分析 方法一被視為嚴謹證明方法一 泰勒级数 把函数e x displaystyle e x nbsp cos x displaystyle cos x nbsp 和sin x displaystyle sin x nbsp 写成泰勒级数形式 e x 1 x x 2 2 x 3 3 displaystyle e x 1 x frac x 2 2 frac x 3 3 cdots nbsp cos x 1 x 2 2 x 4 4 x 6 6 displaystyle cos x 1 frac x 2 2 frac x 4 4 frac x 6 6 cdots nbsp sin x x x 3 3 x 5 5 x 7 7 displaystyle sin x x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 cdots nbsp dd 将x i z displaystyle x iz nbsp 代入e x displaystyle e x nbsp 可得 e i z 1 i z i z 2 2 i z 3 3 i z 4 4 i z 5 5 i z 6 6 i z 7 7 i z 8 8 1 i z z 2 2 i z 3 3 z 4 4 i z 5 5 z 6 6 i z 7 7 z 8 8 1 z 2 2 z 4 4 z 6 6 z 8 8 i z z 3 3 z 5 5 z 7 7 cos z i sin z displaystyle begin aligned e iz amp 1 iz frac iz 2 2 frac iz 3 3 frac iz 4 4 frac iz 5 5 frac iz 6 6 frac iz 7 7 frac iz 8 8 cdots amp 1 iz frac z 2 2 frac iz 3 3 frac z 4 4 frac iz 5 5 frac z 6 6 frac iz 7 7 frac z 8 8 cdots amp left 1 frac z 2 2 frac z 4 4 frac z 6 6 frac z 8 8 cdots right i left z frac z 3 3 frac z 5 5 frac z 7 7 cdots right amp cos z i sin z end aligned nbsp dd 方法二 求導法 对于所有x I displaystyle x in I nbsp 定義函數f x cos x i sin x e i x displaystyle f x frac cos x i sin x e ix nbsp 由於e i x e i x e 0 1 displaystyle e ix cdot e ix e 0 1 nbsp 可知e i x displaystyle e ix nbsp 不可能為0 因此以上定義成立 f x displaystyle f x nbsp 之导数為 f x sin x i cos x e i x cos x i sin x i e i x e i x 2 sin x e i x i 2 sin x e i x e i x 2 sin x e i x sin x e i x e i x 2 0 displaystyle begin aligned f x amp frac sin x i cos x cdot e ix cos x i sin x cdot i cdot e ix e ix 2 amp frac sin x cdot e ix i 2 sin x cdot e ix e ix 2 amp frac sin x cdot e ix sin x cdot e ix e ix 2 amp 0 end aligned nbsp 设 a b I displaystyle a b in I nbsp 和c a b displaystyle c in a b nbsp f c f b f a b a displaystyle f c frac f b f a b a nbsp 拉格朗日中值定理 f x 0 displaystyle because f x 0 nbsp f c 0 displaystyle therefore f c 0 nbsp f a f b displaystyle f a f b nbsp 因此f x displaystyle f x nbsp 必是常數函數 f x f 0 displaystyle f x f 0 nbsp displaystyle cos x i sin x e i x cos 0 i sin 0 e 0 1 displaystyle frac cos x i sin x e ix frac cos 0 i sin 0 e 0 1 nbsp 重新整理 即可得到 e i x cos x i sin x displaystyle e ix cos x i sin x nbsp 方法三 微積分 找出一個函數 使得d y d x i y displaystyle frac dy dx iy nbsp 及f 0 1 displaystyle f 0 1 nbsp d d x e i x i e i x i y displaystyle frac d dx e ix ie ix iy nbsp d d x cos x i sin x sin x i cos x i i sin x cos x i y displaystyle begin aligned frac d dx cos x i sin x amp sin x i cos x amp i i sin x cos x amp iy end aligned nbsp e i 0 e 0 1 displaystyle e i0 e 0 1 nbsp cos 0 i sin 0 1 i 0 1 displaystyle cos 0 i sin 0 1 i 0 1 nbsp 如果使用積分法 i y displaystyle iy nbsp 的原函數是以上兩個函數 x 0 displaystyle x 0 nbsp 時 原函數的值相等 所以以上兩個函數相等 e i x cos x i sin x displaystyle e ix cos x i sin x nbsp cis函數 编辑主条目 cis函數 在複分析領域 歐拉公式亦可以以函數的形式表示 cis 8 cos 8 i sin 8 displaystyle operatorname cis theta cos theta i sin theta nbsp cis 8 e i 8 displaystyle operatorname cis theta e i theta nbsp 並且一般定義域為8 R displaystyle theta in mathbb R nbsp 值域為8 C displaystyle theta in mathbb C nbsp 复平面上的所有单位向量 當一複數的模為1 其反函數就是輻角 arg函數 當8 displaystyle theta nbsp 值為複數時 cis函數仍然是有效的 所以有些人可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本 2 檢定和角公式 编辑請注意 由于欧拉公式的证明过程中使用了棣莫弗公式 而棣莫弗公式的证明过程中使用了和角公式 故使用欧拉公式证明和角公式会造成循环论证 故而下列方法僅为檢定方法 而非严谨的证明方法 对于类似方法也应注意甄别 由於e i a cos a i sin a displaystyle e i alpha cos alpha i sin alpha nbsp 且e i b cos b i sin b displaystyle e i beta cos beta i sin beta nbsp 則有 e i a b cos a b i sin a b e i a i b e i a e i b cos a i sin a cos b i sin b cos a cos b i sin a i sin b i sin a cos b cos a i sin b cos a cos b sin a sin b i sin a cos b cos a sin b displaystyle begin aligned e i alpha beta amp cos alpha beta i sin alpha beta e i alpha i beta amp e i alpha times e i beta amp cos alpha i sin alpha times cos beta i sin beta amp cos alpha times cos beta i sin alpha times i sin beta i sin alpha times cos beta cos alpha times i sin beta amp cos alpha cos beta sin alpha sin beta i sin alpha cos beta cos alpha sin beta end aligned nbsp 實部等於實部 虛部等於虛部 因此 cos a b cos a cos b sin a sin b displaystyle cos alpha beta cos alpha cos beta sin alpha sin beta nbsp sin a b sin a cos b cos a sin b displaystyle sin alpha beta sin alpha cos beta cos alpha sin beta nbsp 在複分析的應用 编辑這公式可以說明當 x displaystyle x nbsp 為實數時 函數 e i x displaystyle e ix nbsp 可在複數平面描述一單位圓 且 x displaystyle x nbsp 為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角 先前一個在複數平面的複點只能用笛卡尔坐标系描述 歐拉公式在此提供複點至極坐標的變換任何複數 z x y i displaystyle z x yi nbsp 皆可記為 z x i y z cos ϕ i sin ϕ z e i ϕ displaystyle z x iy z cos phi i sin phi z e i phi nbsp z x i y z cos ϕ i sin ϕ z e i ϕ displaystyle bar z x iy z cos phi i sin phi z e i phi nbsp 在此 x R e z displaystyle x mathrm Re z nbsp 為實部 y I m z displaystyle y mathrm Im z nbsp 為虛部 z x 2 y 2 displaystyle z sqrt x 2 y 2 nbsp 為 z displaystyle z nbsp 的模 ϕ a t a n 2 y x displaystyle phi mathrm atan2 y x nbsp 其中 a t a n 2 y x arctan y x x gt 0 p arctan y x y 0 x lt 0 p arctan y x y lt 0 x lt 0 p 2 y gt 0 x 0 p 2 y lt 0 x 0 undefined y 0 x 0 displaystyle mathrm atan2 y x begin cases arctan left frac y x right amp qquad x gt 0 pi arctan left frac y x right amp qquad y geq 0 x lt 0 pi arctan left frac y x right amp qquad y lt 0 x lt 0 frac pi 2 amp qquad y gt 0 x 0 frac pi 2 amp qquad y lt 0 x 0 text undefined amp qquad y 0 x 0 end cases nbsp 參見 编辑cis函數 歐拉恆等式参考资料 编辑 Eulers Formula 密蘇里科技大學 2021 06 13 原始内容存档于2020 02 21 2 0 2 1 Moskowitz Martin A A Course in Complex Analysis in One Variable World Scientific Publishing Co 2002 7 ISBN 981 02 4780 X Feynman Richard P The Feynman Lectures on Physics vol I Addison Wesley 1977 22 10 ISBN 0 201 02010 6 Bernoulli Johann Solution d un probleme concernant le calcul integral avec quelques abreges par rapport a ce calcul Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation Memoires de l Academie Royale des Sciences de Paris 1702 1702 197 289 5 0 5 1 John Stillwell Mathematics and Its History Springer 2002 2018 07 17 原始内容存档于2019 06 04 Leonard Euler 1748 Chapter 8 On transcending quantities arising from the circle 页面存档备份 存于互联网档案馆 of Introduction to the Analysis of the Infinite page 214 section 138 translation by Ian Bruce pdf link from 17 century maths 张 筑生 数学分析新讲 第一册 北京大学出版社 1990 取自 https zh wikipedia org w index php title 欧拉公式 amp oldid 78957073, 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