实数完备性

直观上，实数完备性意味着实数轴上（以理查德·戴德金的说法）没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点，有理数在数轴上是有间隙的，即无理数。在十进制计数法下，实数的完备性等价于：实数与一个十进制小数表示一一对应。

实数的完备性公理有一组等价命题，完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后，其余皆为完备性公理的等价定理。

等價命題

实数完备性可以用以下任意一个等价定理作為出發點。以下從最小上界定理出发，來证明其他等价命题。

最小上界性

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又稱為上確界定理（Theorem of Least-Upper-Bound, 簡稱LUB），也就是

集合 ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$  且 ${\displaystyle A\neq \varnothing }$  ，若 ${\displaystyle A}$  存在 ${\displaystyle d\in \mathbb {R} }$  ，使得：

「對所有的 ${\displaystyle a\in A}$  ， ${\displaystyle a\leq d}$  」（稱 ${\displaystyle d}$  為 ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$  的一個上界）

則存在 ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$  使得：

「 ${\displaystyle s}$  為 ${\displaystyle A}$  的一個上界 」且 「對所有 ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$  ，只要 ${\displaystyle r}$  為 ${\displaystyle A}$  的一個上界，則 ${\displaystyle s\leq r}$  」

也就是說，实数非空子集有上界，则它有最小上界。其證明請參見實數的構造。

柯西收敛准则

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设 ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$  是實數柯西序列。设 S 為這樣一個集合，其中每個實數只大於序列 ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$  中的有限個成員。${\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$ ，设 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ^{+}}$  使得 ${\displaystyle \forall n,m\geq N}$ ， ${\displaystyle |s_{n}-s_{m}|<\varepsilon }$ 。於是这个序列在区间 ${\displaystyle (s_{N}-\varepsilon ,s_{N}+\varepsilon )}$  裡出現无限多次，而且只在它的補集裡最多出現有限次。这意味着 ${\displaystyle s_{N}-\varepsilon \in }$  S， 因此 S${\displaystyle \not =\emptyset }$ 。另外 ${\displaystyle s_{N}+\varepsilon }$  是 S 的上界。於是通过 LUB 公理，可以设 b 是 S 的最小上界，而且 ${\displaystyle s_{N}-\varepsilon \leq b\leq s_{N}+\varepsilon }$  。由三角不等式，當 n>N 時成立时 ${\displaystyle d(s_{n},b)\leq d(s_{n},s_{N})+d(s_{N},b)\leq \varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon }$ 。所以 ${\displaystyle s_{n}\longrightarrow b}$  。

滿足柯西收敛准则的度量空間稱為完備空間，若取函數 ${\displaystyle d}$  為

${\displaystyle d=\left\{(a,\,b){\bigg |}(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (b=|a|)\right\}}$ 

可以驗證 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\,d)}$  為一度量空間，這樣本節的結果也可以重新敘述為「實數系 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  有最小上界定理等價於 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\,d)}$  為完備空間。」

区间套原理

主条目：区间套

定理聲稱對於任一的有界閉區間套I_n（例如I_n = [a_n, b_n]並滿足a_n ≤ b_n），它們的交集I_n非空，且為閉區間${\displaystyle [\lim _{n\to \infty }a_{n},\lim _{n\to \infty }b_{n}]}$ ；特別地，假若${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}-b_{n}=0}$ ，則它們的交集J為一個包含且僅包含${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}$ 的單點集。

单调有界定理

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如果a_k是一个单调的实数序列（例如a_k ≤ a_k+1），则这个序列具有有限极限，当且仅当序列是有界的。证明可以通过利用LUB公理来完成。

聚点定理

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波爾查諾-魏爾施特拉斯定理（英語：Bolzano–Weierstrass theorem）说明，${\displaystyle \mathbb {R} }$ 中的一個子集${\displaystyle E}$ 是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）当且仅当${\displaystyle E}$ 是有界閉集。更一般地，這個定理對有限维实向量空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 亦有效。

参考资料

• Upper and Lower Bounds (including the lub axiom)，Springer's Encyclopedia of Mathematics（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Apostol, Tom M. "Mathematical analysis." (1964).