Alan F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups (1983), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90788-2.
Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X.
十月 04, 2023
基本多边形, 此條目部分链接不符合格式手冊規範, 跨語言链接及章節標題等處的链接可能需要清理, 2015年12月13日, 請協助改善此條目, 參見wp, linkstyle, mosiw以了解細節, 突出显示跨语言链接可以便于检查, 在数学上, 每个闭曲面在几何拓扑的意义下, 可以由一个偶数条边的有向多边形, 把它的边成对地粘合构造出来, 这样的多边形称之为, fundamental, polygon, 由一对向量定义的基本平行四边形, 生成环面, 这个构造可以表示成一个长为2n的字符串, 一共n个不同的符号, 每. 此條目部分链接不符合格式手冊規範 跨語言链接及章節標題等處的链接可能需要清理 2015年12月13日 請協助改善此條目 參見WP LINKSTYLE WP MOSIW以了解細節 突出显示跨语言链接可以便于检查 在数学上 每个闭曲面在几何拓扑的意义下 可以由一个偶数条边的有向多边形 把它的边成对地粘合构造出来 这样的多边形称之为基本多边形 fundamental polygon 由一对向量定义的基本平行四边形 生成环面 这个构造可以表示成一个长为2n的字符串 一共n个不同的符号 每个符号出现两次带有指数 1或 1 指数 1的符号对应于该边的定向与基本多边形的定向相反 目录 1 例子 2 群生成元 3 标准基本多边形 4 紧黎曼曲面的基本多边形 4 1 度量基本多边形 4 2 标准基本多边形 4 3 例子 4 4 面积 5 标准多边形的具体形式 6 推广 7 另见 8 参考文献例子 编辑曲面的基本多边形 nbsp 球面 nbsp 实球射影平面 nbsp 克莱因瓶 nbsp 环面上图中标有相同字母的两条边 沿着箭头方向粘合 球面 A A 1 displaystyle AA 1 nbsp 或A B B 1 A 1 displaystyle ABB 1 A 1 nbsp 实射影平面 A A displaystyle AA nbsp 或A B A B displaystyle ABAB nbsp 克莱因瓶 A B A B 1 displaystyle ABAB 1 nbsp 或A A B B displaystyle AABB nbsp 环面 A B A 1 B 1 displaystyle ABA 1 B 1 nbsp 或A B C A 1 B 1 C 1 displaystyle ABCA 1 B 1 C 1 nbsp 群生成元 编辑对标准对称形状 多边形的边可以理解为一个群的生成元 然后这个多边形 写成群元素形式 成为由这些边生成的自由群上一个约束 给出有一个约束的群呈示 因此 例如给定欧几里得平面R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp 设群元素A displaystyle A nbsp 在这个平面上有作用A x y x 1 y displaystyle A x y x 1 y nbsp 而B x y x y 1 displaystyle B x y x y 1 nbsp 则A B displaystyle A B nbsp 生成格G Z 2 displaystyle Gamma mathbb Z 2 nbsp 而环面由商空间给出 一个齐性空间 T R 2 Z 2 displaystyle T mathbb R 2 mathbb Z 2 nbsp 更一般地 两个生成元A B displaystyle A B nbsp 可用来生成一个基本平行四边形的平行四边形镶嵌 对环面 在两个字母的自由群上的约束由A B A 1 B 1 1 displaystyle ABA 1 B 1 1 nbsp 给出 这个约束平凡地包含在如上给出的平面上的作用中 另外 平面可用六边形铺满 六边形的中心形成一个六边形格 将六边形的相对等同 又得到了环面 这一回约束是A B C A 1 B 1 C 1 1 displaystyle ABCA 1 B 1 C 1 1 nbsp 刻划了六边形格生成元在平面上的作用 在实际中 大部分有趣的情形是具有负曲率的曲面 由群P S L 2 R displaystyle PSL 2 mathbb R nbsp 中一个离散格作用在上半平面实现 这样的格称为富克斯群 Fuchsian group 标准基本多边形 编辑亏格n可定向闭曲面有如下标准基本多边形 A 1 B 1 A 1 1 B 1 1 A 2 B 2 A 2 1 B 2 1 A n B n A n 1 B n 1 1 displaystyle A 1 B 1 A 1 1 B 1 1 A 2 B 2 A 2 1 B 2 1 cdots A n B n A n 1 B n 1 1 nbsp 不可定向 亏格n的不可定向闭曲面有如下标准基本多边形 A 1 A 1 A 2 A 2 A n A n displaystyle A 1 A 1 A 2 A 2 cdots A n A n nbsp 或者 不可定向曲面能由两种形式给出 亏格n 克莱因瓶与亏格n 实射影平面 亏格2n克莱因瓶由一个4n边形给出 A 1 B 1 A 1 1 B 1 1 A 2 B 2 A 2 1 B 2 1 A n B n A n 1 B n 1 displaystyle A 1 B 1 A 1 1 B 1 1 A 2 B 2 A 2 1 B 2 1 cdots A n B n A n 1 B n 1 nbsp 注意最后的B n displaystyle B n nbsp 没有上标 1 与可定向情形比较 这个翻转是不可定向性的缘故 亏格2n 1射影平面由一个4n 2边形给出 A 1 B 1 A 1 1 B 1 1 A 2 B 2 A 2 1 B 2 1 A n B n A n 1 B n 1 C 2 1 displaystyle A 1 B 1 A 1 1 B 1 1 A 2 B 2 A 2 1 B 2 1 cdots A n B n A n 1 B n 1 C 2 1 nbsp 最后两类情形穷尽了所有可能的不可定向曲面 这是昂利 庞加莱证明的 紧黎曼曲面的基本多边形 编辑一个 双曲 紧黎曼曲面的基本多边形有许多重要的性质 将曲面与它的富克斯模型 Fuchsian model 联系起来 即一个双曲紧黎曼曲面可以上半平面做为万有覆叠 从而可以表示为一个商流形H G 这里 G是一个非阿贝尔群同构于曲面的甲板变换群 deck transformation group 商空间的陪集有标准多边形做为代表元素 在下面 注意所有黎曼曲面都是可定向的 度量基本多边形 编辑 给定上半平面H中一点z 0 displaystyle z 0 nbsp 以及PSL 2 R 一个离散子群G 自由不连续作用在上半平面 则我们可定义度量基本多边形 metric fundamental polygon 为点集 F z H d z z 0 lt d z g z 0 g G displaystyle F z in mathbb H d z z 0 lt d z gz 0 forall g in Gamma nbsp 这里d是上半平面的双曲度量 度量基本多边形有时也称为狄里克雷区域 Dirichlet region 或沃罗诺伊多边形 Voronoi polygon 这个基本多边形是一个基本区 fundamental domain 这个基本多边形是凸集 连接这个多边形的任何两点的测地线完全包含在多边形内部 F的直径小于或等于H G的直径 特别地 F的闭包紧 如果G在H中没有不动点且H G紧 则F的边数有限 多边形的每条边是一个测地线 对多边形的每条边s 恰有另外一条边s 使得gs s 对某个g属于G 从而这个多边形有偶数条边 将边两两连接的群元素集合g是G的生成元 没有更小的集合可生成G F的闭包在G的作用下铺满上半平面 即H g G g F displaystyle H cup g in Gamma g overline F nbsp 这里F displaystyle overline F nbsp 是F的闭包 标准基本多边形 编辑 给定任何度量基本多边形F 用有限步可以构造另一个基本多边形 标准基本多边形 standard fundamental polygon 它具有额外一组值得注意的性质 标准多边形的顶点都是等价的 顶点 是说两条边相交的点 等价 意味着每个顶点可以由G中某个g变到任何其它一个顶点 边数可被4整除 G中一个给定元素g至多将多边形的一条边变到另一边 从而这些边可以成对标记出来 由于G的作用保持定向 如果一条边为A displaystyle A nbsp 则这一对中另一个可以标记为相反的方向A 1 displaystyle A 1 nbsp 可以安排标准多边形的边 使得相邻边取形式A 1 B 1 A 1 1 B 1 1 A 2 B 2 A 2 1 B 2 1 A n B n A n 1 B n 1 displaystyle A 1 B 1 A 1 1 B 1 1 A 2 B 2 A 2 1 B 2 1 cdots A n B n A n 1 B n 1 nbsp 这就是说边对可安排成以这样的方式相间出现 标准多边形是凸集 边可以安排成测地线 上面的构造足够保证多边形的每条边在流形H G中是一个闭 非平凡 环路 就其本身而言 每条边可以为基本群p 1 H G displaystyle pi 1 mathbb H Gamma nbsp 中一个元素 特别地 基本群p 1 H G displaystyle pi 1 mathbb H Gamma nbsp 有2n个生成元素A 1 B 1 A 2 B 2 A n B n displaystyle A 1 B 1 A 2 B 2 cdots A n B n nbsp 由一个约束定义 A 1 B 1 A 1 1 B 1 1 A 2 B 2 A 2 1 B 2 1 A n B n A n 1 B n 1 1 displaystyle A 1 B 1 A 1 1 B 1 1 A 2 B 2 A 2 1 B 2 1 cdots A n B n A n 1 B n 1 1 nbsp 所得流形H G的亏格是n 例子 编辑 度量基本多边形与标准多边形通常有不同的边数 比如 环面的标准基本多边形是一个基本平行四边形 fundamental parallelogram 相比而言 度量基本多边形有六条边 是一个六边形 只需注意到六边形的边垂直平分平行四边形的边就可以看出来 这就是 取格中一点 然后考虑连接这点与邻点的直线之集合 每个这样的线被另一条垂直线平分 被这样的第二个线集合围住的最小的空间是一个六边形 事实后 上一个构造一般都可行 取一点x 然后对G中g 考虑x与gx之间的测地线 平分这些测地线是另一个曲线集合 这些点的轨迹与x和gx距离相等 由第二个线集合围住的最小区域是度量基本多边形 面积 编辑 标准基本多边形的面积是4 p n 1 displaystyle 4 pi n 1 nbsp 这里n是黎曼曲面的亏格 等价于4n是多边形的边数 由于标准多边形是H G的一个代表 黎曼曲面的整个面积等于标准多边形的面积 这个面积公式由高斯 博内定理得出 在某种意义下黎曼 赫尔维茨公式 Riemann Hurwitz formula 是其推广 标准多边形的具体形式 编辑对标准多边形可以给出具体表达式 一个更有用的形式是使用与这个标准多边形关联的群G displaystyle Gamma nbsp 对一个亏格n定向曲面 群可由2n格生成元a k displaystyle a k nbsp 给出 这些生成元由下列分式线性变换作用在上半平面给出 对0 k lt 2 n displaystyle 0 leq k lt 2n nbsp a k cos k a sin k a sin k a cos k a e p 0 0 e p cos k a sin k a sin k a cos k a displaystyle a k left begin matrix cos k alpha amp sin k alpha sin k alpha amp cos k alpha end matrix right left begin matrix e p amp 0 0 amp e p end matrix right left begin matrix cos k alpha amp sin k alpha sin k alpha amp cos k alpha end matrix right nbsp 参数由 a p 4 n 2 n 1 displaystyle alpha frac pi 4n left 2n 1 right nbsp 和 b p 4 n displaystyle beta frac pi 4n nbsp 以及 p ln cos b cos 2 b sin b displaystyle p ln frac cos beta sqrt cos 2 beta sin beta nbsp 给出 可以验证这些生成元服从约束 a 0 a 1 a 2 n 1 a 0 1 a 1 1 a 2 n 1 1 1 displaystyle a 0 a 1 cdots a 2n 1 a 0 1 a 1 1 cdots a 2n 1 1 1 nbsp 这给出整个群呈示 推广 编辑在高維 基本多变形的想法体现为齐性空间 另见 编辑凯莱图 欧几里得环 沃罗诺伊图 Voronoi diagram 参考文献 编辑Alan F Beardon The Geometry of Discrete Groups 1983 Springer Verlag New York ISBN 0 387 90788 2 Hershel M Farkas and Irwin Kra Riemann Surfaces 1980 Springer Verlag New York ISBN 0 387 90465 4 Jurgen Jost Compact Riemann Surfaces 2002 Springer Verlag New York ISBN 3 540 43299 X 取自 https zh wikipedia org w index php title 基本多边形 amp oldid 63724166, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,