Frankel, Theodore. The Geometry of Physics. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-38753-1.
McDuff, Dusa; Salamon, D. Introduction to Symplectic Topology. Oxford Mathematical Monographs. 1998. ISBN 0-19-850451-9.引文使用过时参数coauthors (帮助)
一月 06, 2023
哈密顿向量场, 在数学与物理中, 是辛流形上一个向量场, 定义在任何能量函数或哈密顿函数上, 以物理学家和数学家威廉, 卢云, 哈密顿命名, 是经典力学中的哈密顿方程的几何表现形式, 的积分曲线表示哈密顿形式的运动方程的解, 由生成的流是辛流形的微分同胚, 在物理中称为典范变换, 在数学中称为, 哈密顿, 辛同胚, 可以更一般地定义在任何泊松流形上, 对应于流形上的函数, 的两个的李括号也是一个, 其哈密顿函数由, 的泊松括号给出, 目录, 定义, 例子, 性质, 泊松括号, 参考文献定义, 编辑假设, 是一个辛流. 在数学与物理中 哈密顿向量场是辛流形上一个向量场 定义在任何能量函数或哈密顿函数上 以物理学家和数学家威廉 卢云 哈密顿命名 哈密顿向量场是经典力学中的哈密顿方程的几何表现形式 哈密顿向量场的积分曲线表示哈密顿形式的运动方程的解 由哈密顿向量场生成的流是辛流形的微分同胚 在物理中称为典范变换 在数学中称为 哈密顿 辛同胚 哈密顿向量场可以更一般地定义在任何泊松流形上 对应于流形上的函数 f 与 g 的两个哈密顿向量场的李括号也是一个哈密顿向量场 其哈密顿函数由 g 与 f 的泊松括号给出 目录 1 定义 2 例子 3 性质 4 泊松括号 5 参考文献定义 编辑假设 M w 是一个辛流形 因为辛形式 w 非退化 诱导了切丛 T M displaystyle TM 与余切丛 T M displaystyle T M 的一个线性同构 w T M T M displaystyle omega TM to T M 以及逆 W T M T M W w 1 displaystyle Omega T M to TM quad Omega omega 1 从而 流形 M 上的1 形式可以与向量场等价起来 故任何可微函数 H M R displaystyle H M to mathbb R 确定了惟一的向量场 XH W dH 称为哈密顿函数 H 的哈密顿向量场 即对 M 上任何向量场 Y 等式 d H Y w X H Y displaystyle mathrm d H Y omega X H Y 一定成立 注 一些作者定义哈密顿向量场为相反的符号 需注意物理与数学著作的不同习惯 例子 编辑假设 M 是一个 2n 维辛流形 则由达布定理 我们在局部总可以取 M 的一个典范坐标 q 1 q n p 1 p n displaystyle q 1 ldots q n p 1 ldots p n 在这个坐标系下辛形式表示为 w i d q i d p i displaystyle omega sum i mathrm d q i wedge mathrm d p i 则关于哈密顿函数 H 的哈密顿向量场具有形式 X H H p i H q i W d H displaystyle X H left frac partial H partial p i frac partial H partial q i right Omega mathrm d H 这里 W 是一个 2n 2n 矩阵 W 0 I n I n 0 displaystyle Omega begin bmatrix 0 amp I n I n amp 0 end bmatrix 假设 M R2n 是 2n 维具有 整体 典范坐标的辛向量空间 如果 H p i displaystyle H p i 则 X H q i displaystyle X H partial partial q i 如果 H q i displaystyle H q i 则 X H p i displaystyle X H partial partial p i 如果 H 1 2 p i 2 displaystyle H 1 2 sum p i 2 则 X H p i q i displaystyle X H sum p i partial partial q i 如果 H 1 2 a i j q i q j a i j a j i displaystyle H 1 2 sum a ij q i q j a ij a ji 则 X H a i j p i q j displaystyle X H sum a ij p i partial partial q j 性质 编辑映射 f X f displaystyle f mapsto X f 线性的 所以两个哈密顿函数之和变为相应的哈密顿向量场之和 假设 q 1 q n p 1 p n displaystyle q 1 ldots q n p 1 ldots p n 是 M 上的典范坐标 则曲线 g t q t p t displaystyle gamma t q t p t 是哈密顿向量场 XH 的积分曲线当且仅当它是哈密顿方程的一个解 q i H p i p i H q i displaystyle dot q i frac partial H partial p i quad dot p i frac partial H partial q i 哈密顿函数 H 在积分曲线上是常数 这就是 H g t displaystyle H gamma t 与时间 t 无关 这个性质对应于哈密顿力学中的能量守恒 更一般地 如果两个函数 F 与 H 的泊松括号为零 见下 则 F 沿着 H 的积分曲线为常数 类似地 H 沿着 F 的积分曲线是常数 这个事实是诺特定理背后的数学原理 辛形式 w displaystyle omega 在哈密顿流下不变 或等价地 李导数 L X H w i X f d d i X f w d d f 0 displaystyle mathcal L X H omega iota X f circ d d circ iota X f omega d circ df 0 这里 i displaystyle iota 是内乘 用到了李导数的嘉当公式 泊松括号 编辑哈密顿向量场的概念导致了辛流形 M 上的可微函数的一个斜对称双线性算子 这就是泊松括号 由如下公式定义 f g w X f X g d f X g L X g f displaystyle f g omega X f X g df X g mathcal L X g f 这里 L X displaystyle mathcal L X 表示沿着向量场 X 的李导数 此外 我们可以验证有恒等式 X f g X f X g displaystyle X f g X f X g 这里右边表示哈密顿函数 g 与 g 对应的哈密顿向量场的李括号 事实上有 i X f X g w L X f i X g i X g L X f w L X f i X g w i X f d d i X f d g d i X f d g d f g displaystyle begin aligned amp iota X f X g omega amp mathcal L X f circ iota X g iota X g circ mathcal L X f omega amp mathcal L X f circ iota X g omega amp iota X f circ d d circ iota X f dg amp d iota X f dg amp d f g end aligned 作为一个推论 泊松括号满足雅可比恒等式 f g h g h f h f g 0 displaystyle f g h g h f h f g 0 这意味着 M 上可微函数组成的向量空间 赋予泊松括号 是 R 上的一个李代数 且映射 f X f displaystyle f mapsto X f 是一个李代数反同态 其核由局部常值函数组成 如果 M 连通则为常数 参考文献 编辑Abraham Ralph Marsden Jerrold E Foundations of Mechanics London Benjamin Cummings 1978 ISBN 978 0 821 84438 0 引文使用过时参数coauthors 帮助 See section 3 2 Arnol d V I Mathematical Methods of Classical Mechanics Berlin etc Springer 1997 ISBN 0 387 96890 3 Frankel Theodore The Geometry of Physics Cambridge Cambridge University Press 1997 ISBN 0 521 38753 1 McDuff Dusa Salamon D Introduction to Symplectic Topology Oxford Mathematical Monographs 1998 ISBN 0 19 850451 9 引文使用过时参数coauthors 帮助 取自 https zh wikipedia org w index php title 哈密顿向量场 amp oldid 45195772, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,