定理的陈述和第一个推论 定理准确的陈述如下。[3] n 维流形上的 1-形式，使得 dθ 有常秩 p 。如果任一点都有
θ ∧ (dθ)p = 0 ， 那么有一个局部的坐标系 x 1 ,...,x n -p y 1 , ..., y p
θ = x 1 dy 1 + ... + x p x 1 dy 1 + ... + x p y p x p +1 dy p
θ ∧ (dθ)p ≠ 0 任何处, 那么有一个局部坐标系 x 1 ,...,x n -p y 1 , ..., y p
θ = x1 dy1 + ... + xp dyp + dxp+1 . 特别的，设 ω 是 n =2m 维流形 M 上的一个辛 2-形式。M 上任一点 p 的局部，由 庞加莱引理 ，总有一个 1-形式 θ 满足 dθ=ω 。进一步 θ 满足达布定理的第一个假设，从而局部存在一个 p 附近的坐标卡 U 使得
θ = x 1 dy 1 + ... + x m y m 取外导数 便有
ω = dθ = dx 1 ∧ dy 1 + ... + dx m y m 坐标卡 U 称为 p 附近的达布坐标卡。[4] M 能被这样的卡覆盖 。
换一种方式叙述，将 R 2m 与 C m 等同起来，令 z j = x j + i y j 。如果 φ : U → C n 0 在 C n 拉回 :
ω = ϕ ∗ ω 0 \omega =\phi ^{*}\omega _{0}\,
和黎曼几何的比较 这个结论意味着辛几何没有局部不变性：在任何一点附近，总能取一个达布基 。这和黎曼几何 具有显著的不同，高斯绝妙定理 指出曲率是黎曼几何的一个局部不变量。曲率阻碍了将度量 局部写成一个平方和。
必须要强调的是，达布定理是说 ω 能在 p 附近的“整个邻域”写成一个标准形式。黎曼几何中，度量总能在给定一“点”写成一个标准形式，但一般不能在那个点的邻域，除非局部为欧氏空间。
又见 Carathéodory-Jacobi-Lie 定理，这个定理的一个推广。
注释 ^ Darboux (1882). ^ Pfaff (1814-1815). ^ Sternberg (1964) p. 140-141. ^ Cf. with McDuff and Salamon (1998) p. 96.
参考文献 Darboux, Gaston. Sur le problème de Pfaff. Bull. Sci. Math. 1882, 6 : 14–36, 49–68. Pfaff, Johann Friedrich. Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium nec non aequationes differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, complete integrandi. Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin. 1814–1815: 76–136. Sternberg, Shlomo. Lectures on Differential Geometry. Prentice Hall. 1964. McDuff, D. and Salamon, D. Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. 1998. ISBN 0-19-850451-9 .
外部链接
达布定理, 微分几何, 达布定理, 是数学领域微分几何中关于微分形式的一个定理, 部分地推广了弗罗贝尼乌斯定理, 它是包括辛几何在内多个领域的基石, 这个定理以让, 加斯东, 达布, 命名, 他在解, pfaff, 问题, 时建立了这个定理, 这个定理的推论之一是任何两个同维数的辛流形是局部辛同胚的, 这就是说, 任何, 维辛流形能局部的看作带标准辛形式的线性辛空间, 应用于切触几何也有类似的结论, 目录, 定理的陈述和第一个推论, 和黎曼几何的比较, 又见, 注释, 参考文献, 外部链接定理的陈述和第一个推论, . 达布定理 是数学领域微分几何中关于微分形式的一个定理 部分地推广了弗罗贝尼乌斯定理 它是包括辛几何在内多个领域的基石 这个定理以让 加斯东 达布 1 命名 他在解 Pfaff 问题 2 时建立了这个定理 这个定理的推论之一是任何两个同维数的辛流形是局部辛同胚的 这就是说 任何 2n 维辛流形能局部的看作带标准辛形式的线性辛空间 Cn 应用于切触几何也有类似的结论 目录 1 定理的陈述和第一个推论 2 和黎曼几何的比较 3 又见 4 注释 5 参考文献 6 外部链接定理的陈述和第一个推论 编辑定理准确的陈述如下 3 设 8 是一个 n 维流形上的 1 形式 使得 d8 有常秩 p 如果任一点都有 8 d8 p 0 那么有一个局部的坐标系 x1 xn p y1 yp 在这个坐标系下 8 x1 dy1 xp 8 x1 dy1 xp dyp dxp 1 dyp 另一个方面 如果任一点有 8 d8 p 0 任何处 那么有一个局部坐标系 x1 xn p y1 yp 使得 8 x1 dy1 xp dyp dxp 1 特别的 设 w 是 n 2m 维流形 M 上的一个辛 2 形式 M 上任一点 p 的局部 由 庞加莱引理 总有一个 1 形式 8 满足 d8 w 进一步 8 满足达布定理的第一个假设 从而局部存在一个 p 附近的坐标卡 U 使得 8 x1 dy1 xm dym 取外导数便有 w d8 dx1 dy1 dxm dym 坐标卡 U 称为 p 附近的达布坐标卡 4 流形 M 能被这样的卡覆盖 换一种方式叙述 将 R2m 与 Cm 等同起来 令 zj xj i yj 如果 f U Cn是一个达布坐标卡 那么 w 是标准辛形式 w0 在 Cn 上的拉回 w ϕ w 0 omega phi omega 0 和黎曼几何的比较 编辑这个结论意味着辛几何没有局部不变性 在任何一点附近 总能取一个达布基 这和黎曼几何具有显著的不同 高斯绝妙定理指出曲率是黎曼几何的一个局部不变量 曲率阻碍了将度量局部写成一个平方和 必须要强调的是 达布定理是说 w 能在 p 附近的 整个邻域 写成一个标准形式 黎曼几何中 度量总能在给定一 点 写成一个标准形式 但一般不能在那个点的邻域 除非局部为欧氏空间 又见 编辑Caratheodory Jacobi Lie 定理 这个定理的一个推广 注释 编辑 Darboux 1882 Pfaff 1814 1815 Sternberg 1964 p 140 141 Cf with McDuff and Salamon 1998 p 96 参考文献 编辑Darboux Gaston Sur le probleme de Pfaff Bull Sci Math 1882 6 14 36 49 68 外部链接存在于 title 帮助 Pfaff Johann Friedrich Methodus generalis aequationes differentiarum partialium nec non aequationes differentiales vulgates ultrasque primi ordinis inter quotcunque variables complete integrandi Abhandlungen der Koniglichen Akademie der Wissenschaften in Berlin 1814 1815 76 136 Sternberg Shlomo Lectures on Differential Geometry Prentice Hall 1964 McDuff D and Salamon D Introduction to Symplectic Topology Oxford University Press 1998 ISBN 0 19 850451 9 外部链接 编辑Proof of Darboux s Theorem PlanetMath 取自 https zh wikipedia org w index php title 达布定理 微分几何 amp oldid 75950749, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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