1-形式

在线性代数中，1-形式（one-form）是向量空间上的一種线性泛函。1-形式在这种向量空间语境中的使用方式，通常区别於高阶的多重线性泛函中的1-形式。细节参见线性泛函。

在三維歐幾里得空間裡，1-形式 α、 β 與它們的和是線性泛函，向量 u、 v與 w也是線性泛函。任意向量穿插過的任意1-形式超平面等於兩者的內積。^[1]

在微分几何中，可微流形上的1-形式是余切丛的一个光滑截面。具体说来，流形 M 上的1-形式是M 的切丛的全空间到 R 的一个光滑映射，限制在每个纤维上是切空间上的线性泛函。用符号表示，

${\displaystyle \alpha :TM\rightarrow {\mathbf {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbf {R} },\,}$

这里 α_x 是线性的。

1-形式经常局部地描述，特别是在一个局部坐标中。在一个局部坐标系中，1-形式是坐标的微分的线性组合：

${\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)dx^{1}+f_{2}(x)dx^{2}+\dots +f_{n}(x)dx^{n}.\,}$

这里 f_i 是光滑函数。注意这里使用上指标，不要与幂混淆。从这种观点来看，一个 1-形式从一个坐标系变到另一个时有共变变换法则。从而一个 1-形式是秩 1 共变张量场。

特例

设 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$  爲一开集（譬如一个区间 ${\displaystyle (a,b)}$ ），考虑可微函数 ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ，具有导数 f'。f 的微分 df，在一点 ${\displaystyle x_{0}\in U}$ ，定义为变量 dx 的某个线性映射。具体地，${\displaystyle df(x_{0},dx):dx\mapsto f'(x_{0})dx}$ 。（从而符号 dx 的含义揭示出来了：它不过是 df 的一个参数，或独立变量。）故映射 ${\displaystyle x\mapsto df(x,\cdot )}$  将每个点 x 送到一个线性泛函 ${\displaystyle df(x,\cdot )}$ 。这是微分（1-）形式最简单的例子。

用德拉姆复形表示，从 0-形式（数量函数）到 1-形式有一个映射，即 ${\displaystyle f\mapsto df}$ 。

一个 1-形式称为闭 1-形式如果它是可微的且它的外导数在任何地方等于 0。

另见

• 2-形式
• 倒晶格
• 张量的中间处理

参考文献

1. J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne. Gravitation. W.H. Freeman & Co. 1973: 57. ISBN 0-7167-0344-0.