泛函

泛函（functional）指以函數构成的向量空间为定義域，实数为值域为的「函數」，即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量，往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中，泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。泛函的应用可以追溯到变分法，其中通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上，寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。

弧长泛函以可求長曲線组成的向量空间（${\displaystyle C([0,1],\mathbb {R} ^{3})}$的一个子集）为定义域，以实标量为输出值。这是一个非线性泛函的例子。

黎曼积分是以从${\displaystyle \mathbb {R} }$到${\displaystyle \mathbb {R} }$的黎曼可积函数组成的向量空间为定义域的线性泛函。

设${\displaystyle S\ }$是由一些函数構成的集合。所谓${\displaystyle S\ }$上的泛函就是${\displaystyle S\ }$上的一个实值函数。${\displaystyle S\ }$称为该泛函的容许函数集。

函数的变换某种程度上是更一般的概念，参见算子。

例子

设在 xOy 平面上有一簇曲线 ${\displaystyle y(x)}$ , 其长度为${\displaystyle L=\int _{C}ds=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}dx}$ 。

显然，${\displaystyle y(x)}$ 不同, ${\displaystyle L}$ 也不同，即${\displaystyle L}$ 的数值依赖于整个函数${\displaystyle y(x)}$  而改变。 ${\displaystyle L}$  和函数 ${\displaystyle y(x)}$  之间的这种依赖关系就称为泛函关系。

性质

對偶性

觀察映射

${\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}$ 

是一個函數，在這裡，${\displaystyle x_{0}}$ 是函數f的自变量。

同時，將函數映射至一個點的函數值

${\displaystyle f\mapsto f(x_{0})}$ 

是一個泛函，在此${\displaystyle x_{0}}$ 是一個參數

只要 ${\displaystyle f}$  是一個從向量空間至一個佈於實數的體的線性轉換，上述的線性映射彼此對偶，那麼在泛函分析上，這兩者都稱作線性泛函。

参见

• 线性泛函
• 最优化
• 张量

参考资料

• Rowland, Todd. Functional. MathWorld. 
• Lang, Serge, III. Modules, §6. The dual space and dual module, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag: 142–146, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556