Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9.(其中的第五章介绍如何使用格林函數解靜電場的邊界值問題)
A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
格林函數, 在數學中, 點源函數, 影響函數, 是一種用來解有初始条件或邊界條件的非齐次微分方程的函數, 在物理学的多体理论中, 格林函数常常指各种关联函数, 英语, correlation, function, quantum, field, theory, 有时并不符合数学上的定义, 的名稱是來自於英國數學家喬治, 格林, george, green, 早在1830年代, 他是第一個提出這個概念的人, 目录, 定義以及用法, 動機, 非齊次邊界值問題的求解, 研究框架, 定理, 尋找, 特徵向量展開, 拉普拉斯. 在數學中 格林函數 點源函數 影響函數 是一種用來解有初始条件或邊界條件的非齐次微分方程的函數 在物理学的多体理论中 格林函数常常指各种关联函数 英语 Correlation function quantum field theory 有时并不符合数学上的定义 格林函數的名稱是來自於英國數學家喬治 格林 George Green 早在1830年代 他是第一個提出這個概念的人 目录 1 定義以及用法 2 動機 3 非齊次邊界值問題的求解 3 1 研究框架 3 2 定理 4 尋找格林函數 4 1 特徵向量展開 5 拉普拉斯算子的格林函數 6 範例 7 其他舉例 8 參見 9 參考 10 外部連結定義以及用法 编辑给定流形M displaystyle M nbsp 上的微分算子 L displaystyle L nbsp 其格林函數G x s s x M displaystyle G x s s x in M nbsp 为以下方程的解 L G x s d x s 1 displaystyle LG x s delta x s 1 nbsp 其中 d displaystyle delta nbsp 為狄拉克d函數 此技巧可用來解下列形式的微分方程 L u x f x 2 displaystyle Lu x f x 2 nbsp 若L displaystyle L nbsp 的 零空间非平凡 則格林函數不唯一 不過 實際上因著對稱性 邊界條件或其他的因素 可以找到唯一的格林函數 一般來說 格林函數只是一个广义函数 格林函數在凝聚態物理學中常被使用 因為格林函數允許擴散方程式有較高的精度 在量子力學中 哈密頓算子的格林函數和狀態密度有重要的關係 由於擴散方程式和薛定谔方程有類似的數學結構 因此兩者對應的格林函數也相當接近 動機 编辑若可找到線性算符 L displaystyle L nbsp 的格林函數 G displaystyle G nbsp 則可將 1 式兩側同乘f s displaystyle f s nbsp 再對變數 s displaystyle s nbsp 積分 可得 L G x s f s d s d x s f s d s f x displaystyle int LG x s f s ds int delta x s f s ds f x nbsp 由公式 2 可知上式的等號右側等於 L u x displaystyle Lu x nbsp 因此 L u x L G x s f s d s displaystyle Lu x int LG x s f s ds nbsp 由於算符 L displaystyle L nbsp 為線式 且只對變數 x displaystyle x nbsp 作用 不對被積分的變數 s displaystyle s nbsp 作用 所以可以將等號右邊的算符 L displaystyle L nbsp 移到積分符號以外 可得 L u x L G x s f s d s displaystyle Lu x L left int G x s f s ds right nbsp 而以下的式子也會成立 u x G x s f s d s 3 displaystyle u x int G x s f s ds 3 nbsp 因此 若知道 1 式的格林函數 及 2 式中的 f x 由於 L 為線性算符 可以用上述的方式得到 u x 換句話說 2 式的解 u x 可以由 3 式的積分得到 若可以找到滿足 1 式的格林函數 G 就可以求出 u x 並非所有的算符 L 都存在對應的格林函數 格林函數也可以視為算符 L 的左逆元素 撇開要找到特定算符的格林函數的難度不論 3 式的積分也很難求解 因此此方法只能算是提供了一個理論上存在的解法 格林函數可以用來解非齊次的微 積分方程 多半是施图姆 刘维尔问题 若 G 是算符 L 的格林函數 則方程式 Lu f 的解 u 為 u x f s G x s d s displaystyle u x int f s G x s ds nbsp 可以視為 f 依狄拉克d函數的基底展開 再將所有投影量疊加的結果 以上的積分為弗雷德霍姆積分方程 英语 Fredholm integral equation 非齊次邊界值問題的求解 编辑格林函數的主要用途是用來求解非齊次的邊界值問題 在近代的理論物理中 格林函數一般是用來作為費曼圖中的傳播子 而 格林函數 一詞也用來表示量子力學中的关联函数 英语 Correlation function quantum field theory 研究框架 编辑 令 L displaystyle L nbsp 為一個施图姆 刘维尔算子 是一個以以下形式表示的線性微分算子 L d d x p x d d x q x displaystyle L d over dx left p x d over dx right q x nbsp 而 D 是邊界條件算子 D u a 1 u 0 b 1 u 0 a 2 u l b 2 u l displaystyle Du left begin matrix alpha 1 u 0 beta 1 u 0 alpha 2 u l beta 2 u l end matrix right nbsp 令 f x displaystyle f x nbsp 為在 0 l displaystyle 0 l nbsp 區間的連續函數 並假設以下問題 L u f D u 0 displaystyle begin matrix Lu f Du 0 end matrix nbsp 有正則特牲 即其齊次問題只存在尋常解 定理 编辑 則存在唯一解 u x displaystyle u x nbsp 滿足以下方程式 L u f D u 0 displaystyle begin matrix Lu f Du 0 end matrix nbsp 而其解的計算方式如下 u x 0 ℓ f s g x s d s displaystyle u x int 0 ell f s g x s ds nbsp 而中 g x s displaystyle g x s nbsp 即為格林函數 有以下的特性 g x s displaystyle g x s nbsp 對 x displaystyle x nbsp 及 s displaystyle s nbsp 連續 對所有 x s displaystyle x neq s nbsp L g x s 0 displaystyle Lg x s 0 nbsp 對所有 s 0 l displaystyle s neq 0 l nbsp D g x s 0 displaystyle Dg x s 0 nbsp 微分跳躍 g s 0 s g s 0 s 1 p s displaystyle g s 0 s g s 0 s 1 p s nbsp 對稱 g x s g s x displaystyle g x s g s x nbsp 尋找格林函數 编辑特徵向量展開 编辑 若一微分算子 L 有一組完备的特徵向量 PS n x displaystyle Psi n x nbsp 也就是一組函數 PS n x displaystyle Psi n x nbsp 及純量 l n displaystyle lambda n nbsp 使得 L PS n l n PS n displaystyle L Psi n lambda n Psi n nbsp 成立 則可以由特徵向量及特徵值產生格林函數 先假設函數 PS n x displaystyle Psi n x nbsp 滿足以下的完備性 d x x n 0 PS n x PS n x displaystyle delta x x sum n 0 infty Psi n x Psi n x nbsp 經由證明可得下式 G x x n 0 PS n x PS n x l n displaystyle G x x sum n 0 infty frac Psi n x Psi n x lambda n nbsp 若在等號兩側加上微分算子 L 則可以證明以上假設的完備性 有關以上格林函數的進一步研究 及格林函數和特徵向量所組成空間的關係 則為弗雷德霍姆理論 英语 Fredholm theory 所要探討的內容 拉普拉斯算子的格林函數 编辑先由格林定理開始 V ϕ 2 ps ps 2 ϕ d V S ϕ ps ps ϕ d s displaystyle int V phi nabla 2 psi psi nabla 2 phi dV int S phi nabla psi psi nabla phi cdot d hat sigma nbsp 假設線性算符 L 為拉普拉斯算子 2 displaystyle nabla 2 nbsp 而 G 為拉普拉斯算子的格林函數 則因為格林函數的定義 可得下式 L G x x 2 G x x d x x displaystyle LG x x nabla 2 G x x delta x x nbsp 令格林定理中的 ps G displaystyle psi G nbsp 可得 V ϕ x d x x d 3 x V G x x 2 ϕ x d 3 x S ϕ x G x x G x x ϕ x d s 4 displaystyle int V phi x delta x x d 3 x int V G x x nabla 2 phi x d 3 x int S phi x nabla G x x G x x nabla phi x cdot d hat sigma 4 nbsp 根據上式 可以解拉普拉斯方程 2 ϕ x 0 displaystyle nabla 2 phi x 0 nbsp 或 泊松方程 2 ϕ x 4 p r x displaystyle nabla 2 phi x 4 pi rho x nbsp 其邊界條件可以為狄利克雷邊界條件或是諾伊曼邊界條件 換句話說 在以下任一個條件成立時 可以解一空間內任一位置的 ϕ x displaystyle phi x nbsp 已知 ϕ x displaystyle phi x nbsp 在邊界上的值 狄利克雷邊界條件 已知 ϕ x displaystyle phi x nbsp 在邊界上的法向導數 諾伊曼邊界條件 若想解在區域內的 ϕ x displaystyle phi x nbsp 由於狄拉克d函數的特性 4 式等號左邊的第一項 V ϕ x d x x d 3 x displaystyle int limits V phi x delta x x d 3 x nbsp 可化簡為 ϕ x displaystyle phi x nbsp 再將 4 式等號左邊第二項 2 ϕ x displaystyle nabla 2 phi x nbsp 用 r x displaystyle rho x nbsp 表示 若為泊松方程 r x 4 p r x displaystyle rho x 4 pi rho x nbsp 若為拉普拉斯方程 r x 0 displaystyle rho x 0 nbsp 可得 ϕ x V G x x r x d 3 x S ϕ x G x x G x x ϕ x d s 5 displaystyle phi x int V G x x rho x d 3 x int S phi x nabla G x x G x x nabla phi x cdot d hat sigma 5 nbsp 上式即為調和函數 harmonic function 的特性之一 若邊界上的值或法向導數已知 則可以求出區域內每個位置的數值 在靜電學中 ϕ x displaystyle phi x nbsp 為電位 r x displaystyle rho x nbsp 為電荷密度 而法向導數 ϕ x d s displaystyle nabla phi x cdot d hat sigma nbsp 則為電場在法向的分量 若目前的邊界條件為狄利克雷邊界條件 可以選擇在 x 或 x 在邊界時 其值也為 0 的格林函數 若邊界條件為諾伊曼邊界條件 可以選擇在 x 或 x 在邊界時 其法向導數為 0 的格林函數 因此 5 式等號右側的二個積分項有一項為 0 只剩下一項需計算 在自由空間的情形下 此時可將邊界條件視為 lim x ϕ x 0 displaystyle lim hat x to infty phi x 0 nbsp 拉普拉斯算子的格林函數為 G x x 1 x x displaystyle G hat x hat x frac 1 hat x hat x nbsp 若 r x displaystyle rho hat x nbsp 為電荷密度 則可得到電荷密度和電位 ϕ x displaystyle phi hat x nbsp 的公式 ϕ x V r x x x d 3 x displaystyle phi hat x int V frac rho x hat x hat x d 3 x nbsp 範例 编辑針對以下微分方程 L u u u f x displaystyle begin matrix Lu end matrix u u f x nbsp D u u 0 0 u p 2 0 displaystyle Du u 0 0 quad quad u left frac pi 2 right 0 nbsp 找出格林函數 第 1 步根據定理中 格林函數的特性 2 可得 g x s c 1 s cos x c 2 s sin x displaystyle g x s c 1 s cdot cos x c 2 s cdot sin x nbsp 在 x lt s 時因特性 3 可知 g 0 s c 1 s 1 c 2 s 0 0 c 1 s 0 displaystyle g 0 s c 1 s cdot 1 c 2 s cdot 0 0 quad c 1 s 0 nbsp 此時不需考慮 g p 2 s 0 displaystyle g frac pi 2 s 0 nbsp 的式子 因 x p 2 displaystyle x neq frac pi 2 nbsp 在 x gt s 時因特性 3 可知 g p 2 s c 1 s 0 c 2 s 1 0 c 2 s 0 displaystyle g frac pi 2 s c 1 s cdot 0 c 2 s cdot 1 0 quad c 2 s 0 nbsp 此時不需考慮 g 0 s 0 displaystyle quad g 0 s 0 nbsp 的式子 因 x 0 displaystyle x neq 0 nbsp 整理上述的結果 可得以下的式子 g x s a s sin x x lt s b s cos x s lt x displaystyle g x s left begin matrix a s sin x x lt s b s cos x s lt x end matrix right nbsp 第 2 步依格林函數的特性 找出 a s 和b s 根據特性 1 可得 a s sin s b s cos s displaystyle a s sin s b s cos s quad nbsp 根據特性 4 可得 b s sin s a s cos s 1 1 1 displaystyle b s cdot sin s a s cdot cos s frac 1 1 1 nbsp 解上述二式 可以求出 a s 和b s a s cos s b s sin s displaystyle a s cos s quad quad b s sin s nbsp 因此格林函數為 g x s 1 cos s sin x x lt s 1 sin s cos x s lt x displaystyle g x s left begin matrix 1 cdot cos s cdot sin x x lt s 1 cdot sin s cdot cos x s lt x end matrix right nbsp 對照此解和格林函數的特性 5 可知此解也滿足特性 5 的要求 其他舉例 编辑若流形為 R 而線性算符 L 為 d dx 則单位阶跃函数 H x x0 為 L 在 x0 處的格林函數 若流形為第一象限平面 x y x y 0 而線性算符 L 為拉普拉斯算子 並假設在x 0 處有狄利克雷邊界條件 而在y 0 處有諾依曼邊界條件 則其格林函數為G x y x 0 y 0 1 2 p ln x x 0 2 y y 0 2 ln x x 0 2 y y 0 2 displaystyle G x y x 0 y 0 frac 1 2 pi left ln sqrt x x 0 2 y y 0 2 ln sqrt x x 0 2 y y 0 2 right nbsp 1 2 p ln x x 0 2 y y 0 2 ln x x 0 2 y y 0 2 displaystyle frac 1 2 pi left ln sqrt x x 0 2 y y 0 2 ln sqrt x x 0 2 y y 0 2 right nbsp dd 參見 编辑離散格林函數 英语 Discrete Laplace operator 可定義於圖以及網上 脈衝響應 格林恆等式 基爾霍夫積分定理參考 编辑Eyges Leonard The Classical Electromagnetic Field Dover Publications New York 1972 ISBN 0 486 63947 9 其中的第五章介绍如何使用格林函數解靜電場的邊界值問題 A D Polyanin and V F Zaitsev Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations 2nd edition Chapman amp Hall CRC Press Boca Raton 2003 ISBN 1 58488 297 2 A D Polyanin Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists Chapman amp Hall CRC Press Boca Raton 2002 ISBN 1 58488 299 9外部連結 编辑埃里克 韦斯坦因 Green s Function MathWorld Green s function for differential operator at PlanetMath Green s function PlanetMath 格林函數簡介 英文 取自 https zh wikipedia org w index php title 格林函數 amp oldid 75950463, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,