HNN擴張

數學上，HNN擴張（英語：HNN extension）是組合群論中的一個基本構造法。HNN擴張是三名數學家Graham Higman、Bernhard Neumann、Hanna Neumann在1949年的論文Embedding Theorems for Groups^[1]提出。給定一個群中兩個同構子群及其間的群同構，這個構造法將這個群嵌入到另一個群中，令到所給定的群同構在新的群中成為共軛。

構造法

若G為群，有展示G = 〈S|R〉，又若 α : H → K是G的兩個子群間的群同構。設t為不在S中的新符號，定義

${\displaystyle G*_{\alpha }=\left\langle S,t{\Big |}R,tht^{-1}=\alpha (h),\forall h\in H\right\rangle .}$ 

群G∗_α稱為G相對於α的HNN擴張。原本的群G稱為G∗_α的基群，而子群H和K稱為相伴子群。新的生成元t稱為穩定字.

基本性質

由於群G∗_α包念了G的所有生成元和關係元，所以將G的生成元等同於G∗_α的生成元，便誘導出從G到G∗_α的一個自然的群同態。Higman、Neumann、Neumann證明了這個群同態是群同構，因而是G到G∗_α中的嵌入。從上可得出一個結論是一個群中兩個同構的子群，必定在某個母群中是共軛子群。這個構造法的原來目的是要證明這個結論。

Britton引理

HNN擴張的一個基礎性質是一條正規形的定理，稱為Britton引理。^[2]設G∗_α如上，w是在G∗_α中如下的一個乘積：

${\displaystyle w=g_{0}t^{\varepsilon _{1}}g_{1}t^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon _{n}}g_{n},\qquad g_{i}\in G,\varepsilon _{i}=\pm 1.}$ 

Britton引理可表述為：

Britton引理 若在G∗_α中w = 1，則

• n = 0，且在G中g₀ = 1
• 或是n > 0，且對某個i ∈ {1, ..., n−1}有下列兩者之一

1. ε_i = 1, ε_i+1 = −1, g_i ∈ H,
2. ε_i = −1, ε_i+1 = 1, g_i ∈ K.

Britton引理用逆反命題可表述為：

Britton引理（另一形式）設w滿足以下其中一項

• n = 0，且g₀ ≠ 1 ∈ G，
• 或n > 0，且w不包含如下的子字串：tht⁻¹，其中h ∈ H；及t⁻¹kt，其中k ∈ K，

則在G∗_α中w ≠ 1。

Britton引理的結果

HNN擴張的大多數基本性質，都可以從Britton引理得出。這些結果包括：

• 從G到G∗_α的自然群同態是內射，所以可以將G∗_α視作包含G為子群。
• G∗_α中任何一個有限階元素，是共軛於G中的某個元素。
• G∗_α中任一個有限子群都共軛於G中某個有限子群.
• 若H ≠ G及K ≠ G，則G∗_α有子群同構於秩2的自由群。

應用

HNN擴張是Higman證明Higman嵌入定理的主要工具。這定理說任何有限生成遞歸展示群可嵌入到一個有限展示群中。Novikov-Boone定理指存在一個有限展示群，有算法不可判定（英語：algorithmically undecidable）的字問題，這定理的現代證明大多數都倚賴於HNN擴張。

HNN擴張和帶共合的自由積兩者都是討論在樹上作用的群的Bass–Serre理論的基本組件。^[3]

推廣

HNN擴張是群的圖的基本群的初等例子。

參考

1. Higman, Graham; B. H. Neumann, Hanna Neumann. Embedding Theorems for Groups (PDF). Journal of the London Mathematical Society. 1949, s1–24 (4): 247–254 [2008-03-15]. doi:10.1112/jlms/s1-24.4.247. （原始内容 (PDF)于2019-10-17）.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
2. Roger C. Lyndon and Paul E. Schupp. Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, New York, 2001. "Classics in Mathematics" series, reprint of the 1977 edition. ISBN 978-3-540-41158-1; Ch. IV. Free Products and HNN Extensions.
3. Jean-Pierre Serre. Trees. Translated from the French by John Stillwell. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. ISBN 3-540-10103-9