超立方體堆砌

在四維歐幾里得幾何空間中，超立方體堆砌（Tesseractic Honeycomb）^[1]是三種正四維空間堆砌（亦稱為填充、鑲嵌或蜂巢體）之一，由超立方體堆砌而成。它亦可被看作是五維空間中由無窮多個超立方體胞組成的二胞角為180°的五維正無窮胞體，因此在許多情況下它被算作是五維的多胞體。

超立方體堆砌
一個3x3x3x3紅藍棋盤超立方體堆砌的透視投影。|220px]]
類型	正四維堆砌
家族	立方形堆砌
維度	4
對偶多胞形	自身对偶
類比	立方体堆砌
數學表示法
考克斯特符號 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	{4,3,3,4} t0,4{4,3,3,4} {4,3,3^1,1} {4,4}^2 {4,3,4}x{∞} {4,4}x{∞}^2 {∞}^4
性質
四維胞	{4,3,3}
胞	{4,3}
面	{4}
歐拉示性數	0
組成與佈局
棱圖	8 {4,3}
顶点图	16 {4,3,3}
對稱性
考克斯特群	${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$, [4,3,3,4] ${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$, [4,3,3^1,1]
特性
點可遞、 邊可遞、 面可遞、 胞可遞
查 论 编

超立方體堆砌在施萊夫利符號中，以{4,3,3,4}表示，透過超立方體胞填密4維空間構成^[2]。其頂點圖是一個正十六胞體，在每單位立方中，每相鄰的兩個超立方體胞有四個正方形相遇、八個邊相遇、頂點則有16個相遇。超立方體堆砌是平面正方形鑲嵌的類比、也是三維空間立方體堆砌在四維空間的類比^[3]，他們的形式皆為{4,3,...,3,4}^[4]，為立方形堆砌家族的一部份，在這個家庭的鑲嵌都是自身对偶。

坐標

此蜂巢體（即該堆砌的整體）的頂點皆位於四維空間中的整數點(i,j,k,l)上，對所有的i,j,k,l皆為超立方體邊長的整數倍^[5]，因此邊長為1超立方體堆砌也可以視為四維空間中的座標網格。

結構

超立方體堆砌有許多不同的Wythoff結構。最對稱的形式是施萊夫利符號{4,3,3,4}表示正圖形，另一種形式是有兩種超立方體交替，有如棋盤一般，在施萊夫利符號中用{4,3,3^1,1}表示。最低的對稱性Wythoff結構是在每個頂點附近有16個稜柱形，其施萊夫利符號表示為{∞}⁴。其可利用截胞（Sterication）來構造。

相關多面體和鑲嵌

考克斯特群[4,3,3,4]、         產生了31個排列均勻的鑲嵌，21具有獨特的對稱性和20具有獨特的幾何形狀。擴展超立方體堆砌（也被稱為截胞超立方體堆砌）其形狀在幾何上與超立方體堆砌相同。

擴展 對稱群	擴展 标记	阶	蜂巢體 （堆砌）
[4,3,3,4]:		×1	1,           2,           3,           4,           5,           6,           7,           8,           9,           10,           11,           12,           13
[[4,3,3,4]]		×2	(1),           (2),           (13),           18           (6),           19,           20
[(3,3)[1^+,4,3,3,4,1^+]] = [(3,3)[3^1,1,1,1]] = [3,4,3,3]	=       =	×6	14,           15,           16,           17

參考文獻

1. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
2. Quaternionic modular groups （页面存档备份，存于互联网档案馆） Submitted by C. DavisDedicated to the memory of John B. Wilker [2014-4-27]
3. Barnes, John. "The Fourth Dimension." Gems of Geometry. Springer Berlin Heidelberg, 2009. 57-81.
4. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
5. Klitzing, Richard. test(tesseractic tetracomb). bendwavy.org. [2014-04-27]. 

• Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs) - Model 1
• Klitzing, Richard. 4D Euclidean tesselations. bendwavy.org.  x∞o x∞o x∞o x∞o, x∞x x∞o x∞o x∞o, x∞x x∞x x∞o x∞o, x∞x x∞x x∞x x∞o,x∞x x∞x x∞x x∞x, x∞o x∞o x4o4o, x∞o x∞o o4x4o, x∞x x∞o x4o4o, x∞x x∞o o4x4o, x∞o x∞o x4o4x, x∞x x∞x x4o4o, x∞x x∞x o4x4o, x∞x x∞o x4o4x, x∞x x∞x x4o4x, x4o4x x4o4x, x4o4x o4x4o, x4o4x x4o4o, o4x4o o4x4o, x4o4o o4x4o, x4o4o x4o4o, x∞x o3o3o *d4x, x∞o o3o3o *d4x, x∞x x4o3o4x, x∞o x4o3o4x, x∞x x4o3o4o, x∞o x4o3o4o, o3o3o *b3o4x, x4o3o3o4x, x4o3o3o4o - test - O1