冯·诺伊曼从小就以过人的智力与记忆力而闻名。冯·诺伊曼一生中发表了大约150篇论文,其中有60篇纯数学论文,20篇物理学以及60篇应用数学论文。他最后的作品是一个在医院未完成的手稿,后来以书名《计算机与人脑(英语:The Computer and the Brain)》发布,表现了他生命最后时光的兴趣方向。他先后任职于美国普林斯顿大学、美国普林斯顿高等研究院等机构。[2][3]
1957年2月8日,冯·诺伊曼在华盛顿瓦尔特·立德军医中心(英语:Walter Reed Army Medical Center)去世,享年53岁。他死后葬于新泽西州默瑟县的普林斯顿公墓 (Princeton Cemetery)。
学术成就
数学
集合论
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遍历论
遍历论主要涉及动态系统和不变测度(英语:invariant measure)。1932年,冯诺依曼发表了一系列有关遍历论的论文,为遍历论的理论基础做出了贡献。[6]保羅·哈爾莫斯在1932年的一篇遍历论文章中指出“假使冯诺依曼在其它领域没有成就,光这些也足以让他在数学史上留下不朽之名”("if von Neumann had never done anything else, they would have been sufficient to guarantee him mathematical immortality")。[7]冯诺依曼当时已完成了涉及算子理论(英语:operator theory)的著名论文,并将其成果用作证明冯诺依曼平均遍历定理的工具。[7]
算子理论
主条目:冯诺依曼代数(英语:Von Neumann algebra)
冯诺依曼在“冯诺依曼代数”中提出了“算子环”的概念。冯诺依曼代数是一种定义于希尔伯特空间的有界算子的星代数(英语:*-algebra),近似于弱算子拓扑(英语:Weak operator topology),且包含有恒等算子。[8]以他命名的冯诺依曼二重交换元定理(von Neumann bicommutant theorem)表明弱算子拓扑中闭包的分析学定义会与其二重交换元(英语:bicommutant)所成集合的纯代数学定义等价。[9]自1936年起,冯诺依曼开始研究冯诺依曼代数中的因子分类,期间还与弗朗西斯·穆瑞(Francis Joseph Murray)有过部分合作。1936年至1940年,他发表了6篇有代表性的论文,“位列20世纪分析学杰作名录”("rank among the masterpieces of analysis in the twentieth century")。[10]1949年,冯诺依曼又提出了直积分(英语:direct integral)的概念。[11]
测度论
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测度论的目的是为各种不规则物体的长度、面积、体积等概念建立严格化的理论基础,并将其推广到比欧几里德空间更抽象的空间中。20世纪初,有关测度论的研究发展迅速,但各种特定的测度理论都存在一些不够尽善尽美的地方。从若尔当测度到勒贝格测度,新出现的测度论一个比一个的适用范围更广,以往理论中被认为是不可测的集合变得越来越少。但是一直没有找出一个测度理论能保证任何集合在其测度标准下都可测。在测度论中,n维欧几里德空间Rn上的“测度问题”(problem of measure)可粗率地表述为“是否存在一个可从Rn的任意子集映射到实数集的正定(即取值非负)、规范(normalized)、不变与加性(additive)的集合映射?”[7]费利克斯·豪斯多夫与斯特凡·巴拿赫的工作成果暗示此测度问题当n = 1或n = 2时是存在满足要求的方案的,但对于所有其它情形则不存在可取方案(因为巴拿赫-塔斯基悖论的存在)。冯诺伊曼的工作则指出“问题本质在于相关的群的性质”[7]:判断此种测度的存在性可通过考察相关空间中变换群的性质而得出。空间维度数不超过2时此问题的可解性和维度数更高时此问题的不可解性,都来源于欧几里德群仅在空间维度数不超过2时才是可解群这一性质。“由此,冯诺伊曼说,引起不同情形下之差异的根源是群的改变,而不是空间的改变。”[7]
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补充来源
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Oral history interview with Alice R. Burks and Arthur W. Burks (页面存档备份,存于互联网档案馆), Charles Babbage Institute, University of Minnesota, Minneapolis. Alice Burks and Arthur Burks describe ENIAC, EDVAC, and IAS computers, and John von Neumann's contribution to the development of computers.
Oral history interview with Eugene P. Wigner (页面存档备份,存于互联网档案馆), Charles Babbage Institute, University of Minnesota, Minneapolis.
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