极化恒等式

极化恒等式（英语：Polarization identity）是一个用范数来计算两个向量的内积的公式。

公式

设${\displaystyle x,y}$ 是复Hilbert空间中的向量，则内积可表示为：

${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}+i{{\left\|x+iy\right\|}^{2}}-i{{\left\|x-iy\right\|}^{2}}\right)}$ 。

若${\displaystyle x,y}$ 是实Hilbert空间中的向量，则内积可表示为：

${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}\right)}$ 。

参见

• 平行四邊形恆等式

参考文献

程其襄，张奠宙等.实变函数与泛函分析基础（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.7，241