^ 1.01.1Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (编), Chapter 22, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, 1965, ISBN 0-486-61272-4
Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.
十月 05, 2023
球對稱位勢, 乃是一種只與徑向距離有關的位勢, 許多描述宇宙交互作用的基本位勢, 像重力勢, 電勢, 都是, 這條目只講述, 在量子力學裏, 運動於中的粒子的量子行為, 這量子行為, 可以用薛丁格方程式表達為, displaystyle, frac, hbar, nabla, 其中, displaystyle, hbar, 是普朗克常數, displaystyle, 是粒子的質量, displaystyle, 是粒子的波函數, displaystyle, 是位勢, displaystyle, 是徑向距離, disp. 球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢 許多描述宇宙交互作用的基本位勢 像重力勢 電勢 都是球對稱位勢 這條目只講述 在量子力學裏 運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為 這量子行為 可以用薛丁格方程式表達為 ℏ 2 2 m 2 ps V r ps E ps displaystyle frac hbar 2 2 mu nabla 2 psi V r psi E psi 其中 ℏ displaystyle hbar 是普朗克常數 m displaystyle mu 是粒子的質量 ps displaystyle psi 是粒子的波函數 V displaystyle V 是位勢 r displaystyle r 是徑向距離 E displaystyle E 是能量 由於球對稱位勢V r displaystyle V r 只與徑向距離有關 與天頂角8 displaystyle theta 方位角ϕ displaystyle phi 無關 為了便利分析 可以採用球坐標 r 8 ϕ displaystyle r theta phi 來表達這問題的薛丁格方程式 然後 使用分離變數法 可以將薛丁格方程式分為兩部分 徑向部分與角部分 目录 1 薛丁格方程式 2 角部分解答 3 徑向部分解答 4 實例 4 1 真空狀況實例 4 1 1 波函數歸一化導引 4 2 球對稱的三維無限深方形位勢阱 4 2 1 波函數歸一化導引 4 3 三維均向諧振子 4 3 1 導引 4 3 1 1 轉換為广义拉盖尔方程式 4 3 1 2 波函數歸一化 4 4 類氫原子 4 4 1 導引 5 參閱 6 參考文獻薛丁格方程式 编辑採用球坐標 r 8 ϕ displaystyle r theta phi nbsp 將拉普拉斯算子 2 displaystyle nabla 2 nbsp 展開 ℏ 2 2 m r 2 r r 2 r 1 sin 2 8 sin 8 8 sin 8 8 2 ϕ 2 ps V r ps E ps displaystyle frac hbar 2 2 mu r 2 left frac partial partial r left r 2 frac partial partial r right frac 1 sin 2 theta left sin theta frac partial partial theta left sin theta frac partial partial theta right frac partial 2 partial phi 2 right right psi V r psi E psi nbsp 滿足薛丁格方程式的本徵函數ps displaystyle psi nbsp 的形式為 ps r 8 ϕ R r 8 8 F ϕ displaystyle psi r theta phi R r Theta theta Phi phi nbsp 其中 R r displaystyle R r nbsp 8 8 displaystyle Theta theta nbsp F ϕ displaystyle Phi phi nbsp 都是函數 8 8 displaystyle Theta theta nbsp 與F ϕ displaystyle Phi phi nbsp 時常會合併為一個函數 稱為球諧函數 Y l m 8 ϕ 8 8 F ϕ displaystyle Y lm theta phi Theta theta Phi phi nbsp 這樣 本徵函數ps displaystyle psi nbsp 的形式變為 ps r 8 ϕ R r Y l m 8 ϕ displaystyle psi r theta phi R r Y lm theta phi nbsp 角部分解答 编辑參數為天頂角8 displaystyle theta nbsp 方位角ϕ displaystyle phi nbsp 的球諧函數Y l m displaystyle Y lm nbsp 滿足角部分方程式 1 sin 2 8 sin 8 8 sin 8 8 2 ϕ 2 Y l m 8 ϕ l l 1 Y l m 8 ϕ displaystyle frac 1 sin 2 theta left sin theta frac partial partial theta Big sin theta frac partial partial theta Big frac partial 2 partial phi 2 right Y lm theta phi l l 1 Y lm theta phi nbsp 其中 非負整數l displaystyle l nbsp 是角動量的角量子數 m displaystyle m nbsp 滿足 l m l displaystyle l leq m leq l nbsp 是角動量對於z 軸的 量子化的 投影 不同的l displaystyle l nbsp 與m displaystyle m nbsp 給予不同的球諧函數解答Y l m displaystyle Y lm nbsp Y l m 8 ϕ i m m 2 l 1 4 p l m l m P l m cos 8 e i m ϕ displaystyle Y lm theta phi i m m sqrt 2l 1 over 4 pi l m over l m P lm cos theta e im phi nbsp 其中 i displaystyle i nbsp 是虛數單位 P l m cos 8 displaystyle P lm cos theta nbsp 是伴隨勒讓德多項式 用方程式定義為 P l m x 1 x 2 m 2 d m d x m P l x displaystyle P lm x 1 x 2 m 2 frac d m dx m P l x nbsp 而P l x displaystyle P l x nbsp 是l displaystyle l nbsp 階勒讓德多項式 可用羅德里格公式表示為 P l x 1 2 l l d l d x l x 2 1 l displaystyle P l x 1 over 2 l l d l over dx l x 2 1 l nbsp 徑向部分解答 编辑將角部分解答代入薛丁格方程式 則可得到一個一維的二階微分方程式 ℏ 2 2 m r 2 d d r r 2 d d r ℏ 2 l l 1 2 m r 2 V r R r E R r displaystyle left hbar 2 over 2 mu r 2 d over dr left r 2 d over dr right hbar 2 l l 1 over 2 mu r 2 V r right R r ER r nbsp 1 設定函數u r r R r displaystyle u r rR r nbsp 代入方程式 1 經過一番繁雜的運算 可以得到 ℏ 2 2 m d 2 u r d r 2 ℏ 2 l l 1 2 m r 2 u r V r u r E u r displaystyle hbar 2 over 2 mu d 2 u r over dr 2 hbar 2 l l 1 over 2 mu r 2 u r V r u r Eu r nbsp 2 徑向方程式變為 ℏ 2 2 m d 2 u r d r 2 V e f f r u r E u r displaystyle hbar 2 over 2 mu d 2 u r over dr 2 V mathrm eff r u r Eu r nbsp 3 其中 有效位勢V e f f r V r ℏ 2 l l 1 2 m r 2 displaystyle V mathrm eff r V r frac hbar 2 l l 1 2 mu r 2 nbsp 這正是函數為u r displaystyle u r nbsp 有效位勢為V e f f displaystyle V mathrm eff nbsp 的薛丁格方程式 徑向距離r displaystyle r nbsp 的定義域是從0 displaystyle 0 nbsp 到 displaystyle infty nbsp 新加入有效位勢的項目 稱為離心位勢 為了要更進一步解析方程式 2 必須知道位勢的形式 不同的位勢有不同的解答 實例 编辑在這裏 有四個很特別 很重要的實例 這些實例都有一個共同點 那就是 它們的位勢都是球對稱的 因此 它們的角部分解答都是球諧函數 這四個實例是 V r 0 displaystyle V r 0 nbsp 原方程變為亥姆霍兹方程 2 2 m E ℏ 2 A 0 displaystyle nabla 2 frac 2 mu E hbar 2 A 0 nbsp 使用球諧函數為正交歸一基 解析眞空狀況實例 這實例可以做為別的實例的基礎 當r lt r 0 displaystyle r lt r 0 nbsp 時 V r 0 displaystyle V r 0 nbsp 否則 V r displaystyle V r infty nbsp 這實例比第一個實例複雜一點 可以描述三維的圓球形盒子中的粒子的量子行為 V r r 2 displaystyle V r propto r 2 nbsp 研討三維均向性諧振子的實例 在量子力學裏 是少數幾個存在簡單的解析解的量子模型 V r 1 r displaystyle V r propto 1 r nbsp 關於類氫原子的束縛態的實例 也有簡單的解析解 真空狀況實例 编辑 思考V r 0 displaystyle V r 0 nbsp 的狀況 設定k d e f 2 m E ℏ 2 displaystyle k stackrel mathrm def sqrt 2 mu E over hbar 2 nbsp 在設定無因次的變數 r d e f k r displaystyle rho stackrel mathrm def kr nbsp 代入方程式 2 定義J r d e f r R r displaystyle J rho stackrel mathrm def sqrt rho R r nbsp 就會得到貝塞爾方程式 一個二階常微分方程式 r 2 d 2 J d r 2 r d J d r r 2 l 1 2 2 J 0 displaystyle rho 2 d 2 J over d rho 2 rho dJ over d rho left rho 2 left l frac 1 2 right 2 right J 0 nbsp 貝塞爾方程式的解答是第一類貝塞爾函數J l 1 2 r displaystyle J l 1 2 rho nbsp 而R r displaystyle R r nbsp 是第一類球貝塞爾函數 真空解的邊界條件要求原點的函數值有限 因此在原點趨於無窮的第二類球貝塞爾函數項的係數必須為零 R r j l k r d e f p 2 k r J l 1 2 k r displaystyle R r j l kr stackrel mathrm def sqrt pi 2kr J l 1 2 kr nbsp 4 在眞空裏 一個粒子的薛丁格方程 即自由空間中的齊次亥姆霍兹方程 的解 以球坐標來表達 是球貝塞爾函數與球諧函數的乘積 ps r 8 ϕ A k l j l k r Y l m 8 ϕ displaystyle psi r theta phi A kl j l kr Y lm theta phi nbsp 其中 歸一常數A k l 2 p k displaystyle A kl sqrt frac 2 pi k nbsp l displaystyle l nbsp 是非負整數 m displaystyle m nbsp 是整數 l m l displaystyle l leq m leq l nbsp k displaystyle k nbsp 是實數 k 0 displaystyle k geq 0 nbsp 這些解答都是角動量確定態的波函數 這些確定態都有明確的角動量 波函數歸一化導引 编辑 波函數的角部分已經歸一化 剩下來必須將徑向部分歸一化 徑向函數的歸一化條件為 1 A k l 2 0 r 2 j l 2 k r d r displaystyle 1 A kl 2 int 0 infty r 2 j l 2 kr dr nbsp 根據球貝塞爾函數的封閉方程式 0 x 2 j a k 1 x j a k 2 x d x p 2 k 1 2 d k 1 k 2 displaystyle int 0 infty x 2 j alpha k 1 x j alpha k 2 x dx frac pi 2k 1 2 delta k 1 k 2 nbsp 其中 a gt 0 displaystyle alpha gt 0 nbsp d k displaystyle delta k nbsp 为克罗内克d 所以 1 A k l 2 p 2 k 2 displaystyle 1 A kl 2 frac pi 2k 2 nbsp 取平方根 歸一常數A k l 2 p k displaystyle A kl sqrt frac 2 pi k nbsp 球對稱的三維無限深方形位勢阱 编辑 nbsp 球貝塞爾函數j l x displaystyle j l x nbsp 思考一個球對稱的無限深方形阱 阱內位勢為0 阱外位勢為無限大 用方程式表達 V r 0 if r r 0 if r gt r 0 displaystyle V r begin cases 0 amp mbox if r leq r 0 infty amp mbox if r gt r 0 end cases nbsp 其中 r 0 displaystyle r 0 nbsp 是球對稱阱的半徑 立刻 可以察覺 阱外的波函數是0 而由於阱內的薛丁格方程式與真空狀況的薛丁格方程式相同 波函數是球貝塞爾函數R r j l k r displaystyle R r j l kr nbsp 為了滿足邊界條件 波函數必須是連續的 匹配阱內與阱外的波函數 球貝塞爾函數在徑向坐標r r 0 displaystyle r r 0 nbsp 之處必須等於0 j l k r 0 0 displaystyle j l kr 0 0 nbsp 設定3 n l displaystyle xi nl nbsp 為l displaystyle l nbsp 階球貝塞爾函數j l displaystyle j l nbsp 的第n displaystyle n nbsp 個0點 則k n l r 0 3 n l displaystyle k nl r 0 xi nl nbsp 那麼 離散的能級E n l displaystyle E nl nbsp 為 E n l ℏ 2 k n l 2 2 m ℏ 2 3 n l 2 2 m r 0 2 displaystyle E nl frac hbar 2 k nl 2 2 mu frac hbar 2 xi nl 2 2 mu r 0 2 nbsp 薛丁格方程式的整個解答是 ps n l m r 8 ϕ A n l j l 3 n l r r 0 Y l m 8 ϕ displaystyle psi nlm r theta phi A nl j l xi nl r r 0 Y lm theta phi nbsp 其中 歸一常數A n l 2 r 0 3 1 2 1 j l 1 3 n l displaystyle A nl left frac 2 r 0 3 right 1 2 frac 1 j l 1 xi nl nbsp 波函數歸一化導引 编辑 波函數的角部分已經歸一化 剩下來必須將徑向部分歸一化 徑向函數的歸一化條件為 1 A n l 2 0 r 0 r 2 j l 2 k n l r d r displaystyle 1 A nl 2 int 0 r 0 r 2 j l 2 k nl r dr nbsp 將球貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數的關係方程式 4 代入積分 1 A n l 2 0 r 0 r 2 p 2 k n l r J l 1 2 2 k n l r d r A n l 2 p 2 k n l 0 r 0 r J l 1 2 2 k n l r d r displaystyle 1 A nl 2 int 0 r 0 r 2 frac pi 2k nl r J l 1 2 2 k nl r dr A nl 2 frac pi 2k nl int 0 r 0 rJ l 1 2 2 k nl r dr nbsp 設定變數x r r 0 displaystyle x r r 0 nbsp 代入積分 1 A n l 2 p r 0 2 2 k n l 0 1 x J l 1 2 2 k n l r 0 x d x A n l 2 p r 0 3 2 3 n l 0 1 x J l 1 2 2 3 n l x d x displaystyle 1 A nl 2 frac pi r 0 2 2k nl int 0 1 xJ l 1 2 2 k nl r 0 x dx A nl 2 frac pi r 0 3 2 xi nl int 0 1 xJ l 1 2 2 xi nl x dx nbsp 根據貝塞爾函數的正交歸一性方程式 0 1 x J a x 3 m a J a x 3 n a d x d m n 2 J a 1 3 n a 2 displaystyle int 0 1 xJ alpha x xi m alpha J alpha x xi n alpha dx frac delta mn 2 J alpha 1 xi n alpha 2 nbsp 其中 a gt 1 displaystyle alpha gt 1 nbsp d m n displaystyle delta mn nbsp 为克罗内克d 3 n a displaystyle xi n alpha nbsp 表示J a x displaystyle J alpha x nbsp 的第n displaystyle n nbsp 個0點 注意到j l x displaystyle j l x nbsp 的第n displaystyle n nbsp 個0點3 n l displaystyle xi nl nbsp 也是J l 1 2 x displaystyle J l 1 2 x nbsp 的第n displaystyle n nbsp 個0點 所以 1 A n l 2 p r 0 3 4 3 n l J l 3 2 2 3 n l A n l 2 r 0 3 2 j l 1 2 3 n l displaystyle 1 A nl 2 frac pi r 0 3 4 xi nl J l 3 2 2 xi nl A nl 2 frac r 0 3 2 j l 1 2 xi nl nbsp 取平方根 歸一常數A n l 2 r 0 3 1 2 1 j l 1 3 n l displaystyle A nl left frac 2 r 0 3 right 1 2 frac 1 j l 1 xi nl nbsp 三維均向諧振子 编辑 主条目 量子諧振子 三維均向諧振子的位勢為 V r 1 2 m w 2 r 2 displaystyle V r tfrac 1 2 mu omega 2 r 2 nbsp 其中 w displaystyle omega nbsp 是角頻率 用階梯算符的方法 可以證明N維諧振子的能量是 E n ℏ w n N 2 with n 0 1 displaystyle E n hbar omega n tfrac N 2 quad hbox with quad n 0 1 ldots infty nbsp 所以 三維均向諧振子的徑向薛丁格方程式是 ℏ 2 2 m d 2 d r 2 ℏ 2 l l 1 2 m r 2 1 2 m w 2 r 2 ℏ w n 3 2 u r 0 displaystyle left hbar 2 over 2 mu d 2 over dr 2 hbar 2 l l 1 over 2 mu r 2 frac 1 2 mu omega 2 r 2 hbar omega n frac 3 2 right u r 0 nbsp 5 設定常數g displaystyle gamma nbsp g m w ℏ displaystyle gamma equiv frac mu omega hbar nbsp 回想u r r R r displaystyle u r rR r nbsp 則徑向薛丁格方程式有一個歸一化的解答 R n l r N n l r l e 1 2 g r 2 L 1 2 n l l 1 2 g r 2 displaystyle R nl r N nl r l e frac 1 2 gamma r 2 L frac 1 2 n l l frac 1 2 gamma r 2 nbsp 其中 函數L k a g r 2 displaystyle L k alpha gamma r 2 nbsp 是广义拉盖尔多项式 N n l displaystyle N nl nbsp 是歸一化常數 N n l 2 n l 2 g l 3 2 p 1 2 1 2 1 2 n l 1 2 n l n l 1 1 2 displaystyle N nl left frac 2 n l 2 gamma l frac 3 2 pi frac 1 2 right frac 1 2 left frac frac 1 2 n l frac 1 2 n l n l 1 right frac 1 2 nbsp 本徵能級E n displaystyle E n nbsp 的本徵函數R n l displaystyle R nl nbsp 乘以球諧函數Y l m 8 ϕ displaystyle Y lm theta phi nbsp 就是薛丁格方程式的整個解答 ps n l m R n l r Y l m 8 ϕ displaystyle psi nlm R nl r Y lm theta phi nbsp 其中l n n 2 l m i n displaystyle l n n 2 ldots l mathrm min nbsp 假若n displaystyle n nbsp 是偶數 設定l m i n 0 displaystyle l mathrm min 0 nbsp 否則 設定l m i n 1 displaystyle l mathrm min 1 nbsp 導引 编辑 在這導引裏 徑向方程式會被轉換為广义拉盖尔微分方程式 這方程式的解是广义拉盖尔多项式 再將广义拉盖尔多项式歸一化以後 就是所要的答案 首先 將徑向坐標無因次化 設定變數y g r displaystyle y sqrt gamma r nbsp 其中 g m w ℏ displaystyle gamma equiv frac mu omega hbar nbsp 則方程式 5 變為 d 2 d y 2 l l 1 y 2 y 2 2 n 3 v y 0 displaystyle left d 2 over dy 2 l l 1 over y 2 y 2 2n 3 right v y 0 nbsp 6 其中 v y u y g displaystyle v y u left y sqrt gamma right nbsp 是新的函數 當y displaystyle y nbsp 接近0時 方程式 6 最顯著的項目是 d 2 d y 2 l l 1 y 2 v y 0 displaystyle left d 2 over dy 2 l l 1 over y 2 right v y 0 nbsp 所以 v y displaystyle v y nbsp 與y l 1 displaystyle y l 1 nbsp 成正比 又當y displaystyle y nbsp 無窮遠時 方程式 6 最顯著的項目是 d 2 d y 2 y 2 v y 0 displaystyle left d 2 over dy 2 y 2 right v y 0 nbsp 因此 v y displaystyle v y nbsp 與e y 2 2 displaystyle e y 2 2 nbsp 成正比 為了除去v y displaystyle v y nbsp 在原點與無窮遠的極限性態 達到孤立解答函數的形式的目的 必須使用v y displaystyle v y nbsp 的替換方程式 v y y l 1 e y 2 2 f y displaystyle v y y l 1 e y 2 2 f y nbsp 經過一番運算 這個替換將微分方程式 6 轉換為 d 2 d y 2 2 l 1 y y d d y 2 n 2 l f y 0 displaystyle left d 2 over dy 2 2 left frac l 1 y y right frac d dy 2n 2l right f y 0 nbsp 7 轉換為广义拉盖尔方程式 编辑 設定變數x y 2 displaystyle x y 2 nbsp 則微分算子為 d d y d x d y d d x 2 y d d x 2 x d d x displaystyle frac d dy frac dx dy frac d dx 2y frac d dx 2 sqrt x frac d dx nbsp d 2 d y 2 d d y 2 y d d x 4 x d 2 d x 2 2 d d x displaystyle frac d 2 dy 2 frac d dy left 2y frac d dx right 4x frac d 2 dx 2 2 frac d dx nbsp 代入方程式 7 就可得到广义拉盖尔方程式 x d 2 g d x 2 l 1 2 1 x d g d x 1 2 n l g x 0 displaystyle x frac d 2 g dx 2 Big l tfrac 1 2 1 x Big frac dg dx tfrac 1 2 n l g x 0 nbsp 其中 函數g x f x displaystyle g x equiv f sqrt x nbsp 假若 k n l 2 displaystyle k equiv n l 2 nbsp 是一個非負整數 則广义拉盖尔方程式的解答是广义拉盖尔多项式 g x L k l 1 2 x displaystyle g x L k l frac 1 2 x nbsp 因為k displaystyle k nbsp 是非負整數 要求 n l displaystyle n geq l nbsp n displaystyle n nbsp 與l displaystyle l nbsp 同時為奇數或同時為偶數 這證明了前面所述l displaystyle l nbsp 必須遵守的條件 波函數歸一化 编辑 回憶到u r r R r displaystyle u r rR r nbsp 徑向函數可以表達為 R n l r N n l r l e 1 2 g r 2 L 1 2 n l l 1 2 g r 2 displaystyle R nl r N nl r l e frac 1 2 gamma r 2 L frac 1 2 n l l frac 1 2 gamma r 2 nbsp 其中 N n l displaystyle N nl nbsp 是歸一常數 R n l r displaystyle R nl r nbsp 的歸一條件是 0 r 2 R n l r 2 d r 1 displaystyle int 0 infty r 2 R nl r 2 dr 1 nbsp 設定q g r 2 displaystyle q gamma r 2 nbsp 將R n l displaystyle R nl nbsp 與q displaystyle q nbsp 代入積分方程式 N n l 2 2 g l 3 2 0 q l 1 2 e q L 1 2 n l l 1 2 q 2 d q 1 displaystyle frac N nl 2 2 gamma l 3 over 2 int 0 infty q l 1 over 2 e q left L frac 1 2 n l l frac 1 2 q right 2 dq 1 nbsp 應用广义拉盖尔多项式的正交歸一性 這方程式簡化為 N n l 2 2 g l 3 2 G 1 2 n l 1 1 1 2 n l 1 displaystyle frac N nl 2 2 gamma l 3 over 2 cdot frac Gamma frac 1 2 n l 1 1 frac 1 2 n l 1 nbsp 因此 歸一常數可以表達為 N n l 2 g l 3 2 n l 2 G n l 2 3 2 displaystyle N nl sqrt frac 2 gamma l 3 over 2 frac n l 2 Gamma frac n l 2 frac 3 2 nbsp 應用伽瑪函數的數學特性 同時注意n displaystyle n nbsp 與l displaystyle l nbsp 的奇偶性相同 可以導引出其它形式的歸一常數 伽瑪函數變為 G 1 2 n l 2 1 p n l 1 2 n l 2 1 p n l 1 2 n l 1 1 2 n l displaystyle Gamma left 1 over 2 left frac n l 2 1 right right frac sqrt pi n l 1 2 frac n l 2 1 frac sqrt pi n l 1 2 n l 1 frac 1 2 n l nbsp 在這裏用到了雙階乘 double factorial 的定義 所以 歸一常數等於 N n l 2 n l 2 g l 3 2 1 2 n l 1 2 n l p 1 2 n l 1 1 2 displaystyle N nl left frac 2 n l 2 gamma l 3 over 2 1 over 2 n l 1 over 2 n l pi 1 over 2 n l 1 right 1 over 2 nbsp 類氫原子 编辑 主条目 類氫原子 類氫原子只含有一個原子核與一個電子 是個簡單的二體系統 兩個物體之間 互相作用的位勢遵守庫侖定律 V r 1 4 p ϵ 0 Z e 2 r displaystyle V r frac 1 4 pi epsilon 0 frac Ze 2 r nbsp 其中 ϵ 0 displaystyle epsilon 0 nbsp 是真空電容率 Z displaystyle Z nbsp 是原子序 e displaystyle e nbsp 是單位電荷量 r displaystyle r nbsp 是電子離原子核的徑向距離 將位勢代入方程式 1 ℏ 2 2 m r 2 d d r r 2 d d r ℏ 2 l l 1 2 m r 2 1 4 p ϵ 0 Z e 2 r R r E R r displaystyle left hbar 2 over 2 mu r 2 d over dr left r 2 d over dr right hbar 2 l l 1 over 2 mu r 2 frac 1 4 pi epsilon 0 frac Ze 2 r right R r ER r nbsp 這方程式的解答是 R n l r 2 Z n a m 3 n l 1 2 n n l 3 e Z r n a m 2 Z r n a m l L n l 1 2 l 1 2 Z r n a m displaystyle R nl r sqrt left frac 2Z na mu right 3 frac n l 1 2n n l 3 e Zr na mu left frac 2Zr na mu right l L n l 1 2l 1 left frac 2Zr na mu right nbsp 其中 a m 4 p e 0 ℏ 2 m e 2 displaystyle a mu 4 pi varepsilon 0 hbar 2 over mu e 2 nbsp a m displaystyle a mu nbsp 近似於波耳半徑a 0 displaystyle a 0 nbsp 假若 原子核的質量是無限大的 則a m a 0 displaystyle a mu a 0 nbsp 並且 約化質量等於電子的質量 m m e displaystyle mu m e nbsp L n l 1 2 l 1 displaystyle L n l 1 2l 1 nbsp 是广义拉盖尔多项式 定義為 1 L i j x 1 j d j d x j L i j x displaystyle L i j x 1 j frac d j dx j L i j x nbsp 其中 L i j x displaystyle L i j x nbsp 是拉盖尔多项式 可用羅德里格公式表示為 L i x e x i d i d x i x i e x displaystyle L i x frac e x i frac d i dx i x i e x nbsp 為了滿足R n l r displaystyle R nl r nbsp 的邊界條件 n displaystyle n nbsp 必須是正值整數 能量也離散為能級E n Z 2 m e 4 32 p 2 ϵ 0 2 ℏ 2 1 n 2 13 6 Z 2 n 2 e V displaystyle E n left frac Z 2 mu e 4 32 pi 2 epsilon 0 2 hbar 2 right frac 1 n 2 frac 13 6Z 2 n 2 eV nbsp 隨著量子數的不同 函數R n l r displaystyle R nl r nbsp 與Y l m displaystyle Y lm nbsp 都會有對應的改變 為了要結束广义拉盖尔多项式的遞迴關係 必須要求l lt n displaystyle l lt n nbsp 知道徑向函數R n l r displaystyle R nl r nbsp 與球諧函數Y l m displaystyle Y lm nbsp 的形式 就可以寫出整個類氫原子量子態的波函數 也就是薛丁格方程式的整個解答 ps n l m R n l r Y l m 8 ϕ displaystyle psi nlm R nl r Y lm theta phi nbsp 導引 编辑 為了要簡化薛丁格方程式 設定能量與長度的原子單位 atomic unit E h m e e 2 4 p e 0 ℏ 2 displaystyle E textrm h m textrm e left frac e 2 4 pi varepsilon 0 hbar right 2 nbsp a 0 4 p e 0 ℏ 2 m e e 2 displaystyle a 0 4 pi varepsilon 0 hbar 2 over m textrm e e 2 nbsp 將變數y Z r a 0 displaystyle y Zr a 0 nbsp 與W E Z 2 E h displaystyle W E Z 2 E textrm h nbsp 代入徑向薛丁格方程式 2 1 2 d 2 d y 2 1 2 l l 1 y 2 1 y u l W u l displaystyle left frac 1 2 frac d 2 dy 2 frac 1 2 frac l l 1 y 2 frac 1 y right u l Wu l nbsp 8 這方程式有兩類解答 W lt 0 displaystyle W lt 0 nbsp 量子態是束縛態 其本徵函數是平方可積函數 量子化的W displaystyle W nbsp 造成了離散的能量譜 W 0 displaystyle W geq 0 nbsp 量子態是散射態 其本徵函數不是平方可積函數 這條目只講述第 1 類解答 設定正實數a 2 2 W displaystyle alpha equiv 2 sqrt 2W nbsp 與x a y displaystyle x equiv alpha y nbsp 代入方程式 8 d 2 d x 2 l l 1 x 2 2 a x 1 4 u l 0 displaystyle left frac d 2 dx 2 frac l l 1 x 2 frac 2 alpha x frac 1 4 right u l 0 nbsp 9 當x displaystyle x nbsp 接近0時 方程式 9 最顯著的項目是 d 2 d x 2 l l 1 x 2 u l 0 displaystyle left frac d 2 dx 2 frac l l 1 x 2 right u l 0 nbsp 所以 u l x displaystyle u l x nbsp 與x l 1 displaystyle x l 1 nbsp 成正比 又當x displaystyle x nbsp 無窮遠時 方程式 9 最顯著的項目是 d 2 d x 2 1 4 u l 0 displaystyle left frac d 2 dx 2 frac 1 4 right u l 0 nbsp 因此 u l x displaystyle u l x nbsp 與e x 2 displaystyle e x 2 nbsp 成正比 為了除去u l x displaystyle u l x nbsp 在原點與無窮遠的極限性態 達到孤立解答函數的形式的目的 必須使用u l x displaystyle u l x nbsp 的替換方程式 u l x x l 1 e x 2 f l x displaystyle u l x x l 1 e x 2 f l x nbsp 經過一番運算 得到f l x displaystyle f l x nbsp 的方程式 x d 2 d x 2 2 l 2 x d d x n l 1 f l x 0 displaystyle left x frac d 2 dx 2 2l 2 x frac d dx nu l 1 right f l x 0 nbsp 其中 n 2 W 1 2 displaystyle nu 2W frac 1 2 nbsp 假若 n l 1 displaystyle nu l 1 nbsp 是個非負整數k displaystyle k nbsp 則這方程式的解答是广义拉盖尔多项式 L k 2 l 1 x k 0 1 displaystyle L k 2l 1 x qquad k 0 1 ldots nbsp 採用Abramowitz and Stegun的慣例 1 無因次的能量是 W 1 2 n 2 displaystyle W frac 1 2n 2 nbsp 其中 主量子數n k l 1 displaystyle n equiv k l 1 nbsp 滿足n l 1 displaystyle n geq l 1 nbsp 或l n 1 displaystyle l leq n 1 nbsp 由於a 2 n displaystyle alpha 2 n nbsp 徑向波函數是 R n l r 2 Z n a 0 3 n l 1 2 n n l 3 e Z r n a 0 2 Z r n a 0 l L n l 1 2 l 1 2 Z r n a 0 displaystyle R nl r sqrt left frac 2Z na 0 right 3 cdot frac n l 1 2n n l 3 e textstyle frac Zr na 0 left frac 2Zr na 0 right l L n l 1 2l 1 left frac 2Zr na 0 right nbsp 能量是 E Z 2 2 n 2 E h Z 2 2 n 2 m e e 2 4 p e 0 ℏ 2 n 1 2 displaystyle E frac Z 2 2n 2 E textrm h frac Z 2 2n 2 m textrm e left frac e 2 4 pi varepsilon 0 hbar right 2 qquad n 1 2 ldots nbsp 參閱 编辑自由粒子 無限深方形阱 有限深方形阱 有限位勢壘 Delta位勢阱 Delta位勢壘 連心力 量子穿隧效應 盒中氣體參考文獻 编辑 1 0 1 1 Abramowitz Milton Stegun Irene A 编 Chapter 22 Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables New York Dover 1965 ISBN 0 486 61272 4 Griffiths David J Introduction to Quantum Mechanics 2nd ed Prentice Hall 2004 ISBN 0 13 111892 7 取自 https zh wikipedia org w index php title 球對稱位勢 amp oldid 54453699, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,