delta位勢壘, 在量子力學裏, 是一個壘內位勢為狄拉克delta函數, 壘外位勢為0的位勢壘, 問題專門研討, 在這種位勢的作用中, 一個移動的粒子的量子行為, 我們想要知道的是, 在被散射的狀況下, 粒子的反射係數與透射係數, 在許多量子力學的教科書裏, 這是一個常見的習題, 目录, 定義, 導引, 反射與透射, 參閱定義, 编辑, nbsp, 對於一個的散射, 往左與往右的行進波的振幅與方向都分別表示於圖內, 用來計算透射係數與反射係數的行進波都以紅色表示, 一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為, displa. 在量子力學裏 Delta位勢壘是一個壘內位勢為狄拉克Delta函數 壘外位勢為0的位勢壘 Delta位勢壘問題專門研討 在這種位勢的作用中 一個移動的粒子的量子行為 我們想要知道的是 在被Delta位勢壘散射的狀況下 粒子的反射係數與透射係數 在許多量子力學的教科書裏 這是一個常見的習題 目录 1 定義 2 導引 2 1 反射與透射 3 參閱定義 编辑 nbsp 對於一個Delta位勢壘的散射 往左與往右的行進波的振幅與方向都分別表示於圖內 用來計算透射係數與反射係數的行進波都以紅色表示 一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為 ℏ 2 2 m d 2 ps x d x 2 V x ps x E ps x displaystyle frac hbar 2 2m frac d 2 psi x dx 2 V x psi x E psi x nbsp 其中 ℏ displaystyle hbar nbsp 是約化普朗克常數 m displaystyle m nbsp 是粒子質量 x displaystyle x nbsp 是粒子位置 E displaystyle E nbsp 是能量 ps x displaystyle psi x nbsp 是波函數 V x displaystyle V x nbsp 是位勢 表達為 V x l d x displaystyle V x lambda delta x nbsp 其中 d x displaystyle delta x nbsp 是狄拉克Delta函數 l displaystyle lambda nbsp 是狄拉克Delta函數的強度 導引 编辑這位勢壘將一維空間分為兩個區域 x lt 0 displaystyle x lt 0 nbsp 與x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp 在任何一個區域內 位勢為常數 薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的疊加 參閱自由粒子 ps L x A r e i k x A l e i k x x lt 0 displaystyle psi L x A r e ikx A l e ikx quad x lt 0 nbsp ps R x B r e i k x B l e i k x x gt 0 displaystyle psi R x B r e ikx B l e ikx quad x gt 0 nbsp 其中 A r displaystyle A r nbsp A l displaystyle A l nbsp B r displaystyle B r nbsp B l displaystyle B l nbsp 都是必須由邊界條件決定的常數 下標r displaystyle r nbsp 與l displaystyle l nbsp 分別標記波函數往右或往左的方向 k 2 m E ℏ 2 displaystyle k sqrt 2mE hbar 2 nbsp 是波數 由於E gt 0 displaystyle E gt 0 nbsp ps L displaystyle psi L nbsp 與ps R displaystyle psi R nbsp 都是行進波 這兩個波必須滿足在x 0 displaystyle x 0 nbsp 的邊界條件 ps L ps R displaystyle psi L psi R nbsp d d x ps L d d x ps R 2 m l ℏ 2 ps R displaystyle frac d dx psi L frac d dx psi R frac 2m lambda hbar 2 psi R nbsp 特別注意第二個邊界條件方程式 波函數隨位置的導數在x 0 displaystyle x 0 nbsp 並不是連續的 在位勢壘兩邊的差額有 2 l ℏ 2 ps R displaystyle frac 2 lambda hbar 2 psi R nbsp 這麼多 這方程式的推導必須用到薛丁格方程 將薛丁格方程積分於x 0 displaystyle x 0 nbsp 的一個非常小的鄰域 ℏ 2 2 m ϵ ϵ d 2 ps d x 2 d x ϵ ϵ V x ps d x E ϵ ϵ ps d x displaystyle frac hbar 2 2m int epsilon epsilon frac d 2 psi dx 2 dx int epsilon epsilon V x psi dx E int epsilon epsilon psi dx nbsp 1 dd 其中 ϵ displaystyle epsilon nbsp 是一個非常小的數值 方程式 1 右邊的能量項目是 E ϵ ϵ ps d x E 2 ϵ ps 0 displaystyle E int epsilon epsilon psi dx approx E cdot 2 epsilon cdot psi 0 nbsp 2 在ϵ 0 displaystyle epsilon to 0 nbsp 的極限 這項目往著0去 方程式 1 左邊是 ℏ 2 2 m d ps R d x ϵ d ps L d x ϵ l ϵ ϵ d x ps d x 0 displaystyle frac hbar 2 2m left frac d psi R dx bigg epsilon frac d psi L dx bigg epsilon right lambda int epsilon epsilon delta x psi dx 0 nbsp 3 根據狄拉克Delta函數的定義 ϵ ϵ d x ps d x ps R 0 displaystyle int epsilon epsilon delta x psi dx psi R 0 nbsp 4 而在ϵ 0 displaystyle epsilon to 0 nbsp 的極限 lim ϵ 0 d ps L d x ϵ d ps L d x 0 displaystyle lim epsilon to 0 frac d psi L dx bigg epsilon frac d psi L dx bigg 0 nbsp 5 lim ϵ 0 d ps R d x ϵ d ps R d x 0 displaystyle lim epsilon to 0 frac d psi R dx bigg epsilon frac d psi R dx bigg 0 nbsp 6 將這些結果 4 5 6 代入方程式 3 稍加編排 可以得到第二個邊界條件方程式 在x 0 displaystyle x 0 nbsp d ps L d x d ps R d x 2 m l ℏ 2 ps R displaystyle frac d psi L dx frac d psi R dx frac 2m lambda hbar 2 psi R nbsp 從這兩個邊界條件方程式 稍加運算 可以得到以下方程式 A r A l B r B l displaystyle A r A l B r B l nbsp i k A r A l B r B l 2 m l ℏ 2 B r B l displaystyle ik A r A l B r B l frac 2m lambda hbar 2 B r B l nbsp 反射與透射 编辑 nbsp 一個Delta位勢壘的反射係數R displaystyle R nbsp 用紅線表示 與透射係數T displaystyle T nbsp 用綠線表示 隨著能量E displaystyle E nbsp 的變化 在這裏 能量E gt 0 displaystyle E gt 0 nbsp 能量的單位是l 2 2 m ℏ 2 displaystyle frac lambda 2 2m hbar 2 nbsp 經典力學的答案用虛線表示 量子力學的答案用實線表示 由於能量是正值的 粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間 x lt 0 displaystyle x lt 0 nbsp 或x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp 可是 在Delta位勢壘 粒子會遇到散射狀況 設定粒子從左邊入射 在Delta位勢壘 粒子可能會被反射回去 或者會被透射過去 我們想要知道散射的反射係數與透射係數 設定A r 1 displaystyle A r 1 nbsp A l r displaystyle A l r nbsp B l 0 displaystyle B l 0 nbsp B r t displaystyle B r t nbsp 求算反射的機率幅r displaystyle r nbsp 與透射的機率幅t displaystyle t nbsp r 1 i ℏ 2 k m l 1 displaystyle r cfrac 1 cfrac i hbar 2 k m lambda 1 nbsp t 1 i m l ℏ 2 k 1 displaystyle t cfrac 1 cfrac im lambda hbar 2 k 1 nbsp 反射係數是 R r 2 1 1 ℏ 4 k 2 m 2 l 2 1 1 2 ℏ 2 E m l 2 displaystyle R r 2 cfrac 1 1 cfrac hbar 4 k 2 m 2 lambda 2 cfrac 1 1 cfrac 2 hbar 2 E m lambda 2 nbsp 透射係數是 T t 2 1 R 1 1 m 2 l 2 ℏ 4 k 2 1 1 m l 2 2 ℏ 2 E displaystyle T t 2 1 R cfrac 1 1 cfrac m 2 lambda 2 hbar 4 k 2 cfrac 1 1 cfrac m lambda 2 2 hbar 2 E nbsp 這純粹是一個量子力學的效應 稱為量子穿隧效應 在經典力學裏 透射係數等於0 粒子不可能會透射過位勢壘 由於模型的對稱性 假若 粒子從右邊入射 我們也會得到同樣的答案 很奇異地 給予同樣的能量 質量 與狄拉克Delta函數的強度 Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數 參閱 编辑自由粒子 無限深方形阱 有限深方形阱 有限位勢壘 球對稱位勢 Delta位勢阱 量子穿隧效應 取自 https zh wikipedia org w index php title Delta位勢壘 amp oldid 54362120, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,