罗德里格公式

关于几何学中關於向量的旋轉的演算法（Rodrigues' rotation formula），請見「罗德里格旋转公式」。

罗德里格公式（英語：Rodrigues' formula），舊稱為艾沃里–雅可比公式，是一個關於勒壤得多項式的公式，分別被 欧林 罗德里格 （1816），詹姆斯 艾沃里 （1824）及卡爾 雅可比 （1827）所獨立發現。在埃爾米特於1865年指出罗德里格是第一個發現的人後，Heine在1878年建議使用「罗德里格公式」此名稱。此名稱亦被用於其它正交多项式的相似公式中。Askey (2005)詳述了罗德里格公式的歷史。

敍述

令${\displaystyle \{P_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }}$ 為一正交多項式序列，並滿足以下條件：

$${\displaystyle \int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=K_{n}\delta _{m,n},}$$

 

其中${\displaystyle w(x)}$  為權函數，${\displaystyle K_{n}}$ 為與${\displaystyle n}$ 有關之常數，${\displaystyle \delta _{m,n}}$ 則是克羅內克δ函數。如果權函數${\displaystyle w(x)}$ 滿足以下微分方程（又稱Pearson微分方程）：

$${\displaystyle {\frac {w'(x)}{w(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},}$$

 

其中${\displaystyle A(x)}$  為次數最高為一的多項式，${\displaystyle B(x)}$ 為次數最高為二的多項式；且以下極限成立：

$${\displaystyle \lim _{x\to a}w(x)B(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}w(x)B(x)=0,}$$

 

那麼我們可以證明${\displaystyle P_{n}(x)}$ 滿足以下遞迴關係式

$${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[B(x)^{n}w(x)\right],}$$

 

其中${\displaystyle c_{n}}$ 為常數。此關係式稱為「罗形公式」或是簡稱為「罗德里格公式」^[1]

罗形公式最常見的應用為勒壤得多項式、拉蓋爾多項式和埃爾米特多項式。

對勒壤得多項式${\displaystyle P_{n}}$ ，罗德里格描述他的公式如下：

$${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}$$

 

拉蓋爾多項式通常被記為L₀, L₁, ⋯⋯，其罗形公式可被寫為：

$${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}$$

 

埃爾米特多項式的罗德里格公式則為：

$${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$$

 

其他從史特姆-萊歐維爾方程所得之正交函數序列也有類似的公式，這些公式也被稱為罗德里格公式（或是罗形公式），特別是所得函數為多項式時。

參考資料

1. Rodrigues formula – Encyclopedia of Mathematics. www.encyclopediaofmath.org. [2018-04-18] （英语）. 

• Askey, Richard, The 1839 paper on permutations: its relation to the Rodrigues formula and further developments, Altmann, Simón L.; Ortiz, Eduardo L. (编), Mathematics and social utopias in France: Olinde Rodrigues and his times, History of mathematics 28, Providence, R.I.: American Mathematical Society: 105–118, 2005, ISBN 978-0-8218-3860-0 
• 艾沃里, 詹姆斯, On the Figure Requisite to Maintain the Equilibrium of a Homogeneous Fluid Mass That Revolves Upon an Axis, Philosophical Transactions of the Royal Society of London (The Royal Society), 1824, 114: 85–150, JSTOR 107707, doi:10.1098/rstl.1824.0008   
• 雅可比, C. G. J., Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 − 2xz + z²)^1/2 entstehen., Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1827, 2: 223–226, ISSN 0075-4102, S2CID 120291793, doi:10.1515/crll.1827.2.223 （German）  引文格式1维护：未识别语文类型 (link)
• 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜（英语：Edmund F. Robertson）, Olinde Rodrigues, MacTutor数学史档案 （英语） 
• 罗德里格, 欧林, De l'attraction des sphéroïdes, Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique, (Thesis for the Faculty of Science of the University of Paris), 1816, 3 (3): 361–385