Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4. chapter 22 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Vilmos Totik (2005). "Orthogonal Polynomials". Surveys in Approximation Theory 1: 70-125.
正交多項式, 函數w, displaystyle, 若在區間, 可積, 且w, displaystyle, 則可作為權函數, 對於一個多項式的序列f, displaystyle, 和權函數w, displaystyle, 定義內積, displaystyle, langle, rangle, 若n, displaystyle, displaystyle, langle, rangle, 這些多項式則稱為, 英語, orthogonal, polynomials, 若f, displaystyle, 除了正交之外, . 函數W x displaystyle W x 若在區間 a b 可積 且W x 0 displaystyle W x geq 0 則可作為權函數 對於一個多項式的序列f i displaystyle f i 和權函數W x displaystyle W x 定義內積 f m f n a b f m x f n x W x d x displaystyle langle f m f n rangle int a b f m x f n x W x dx 若n m displaystyle n neq m f m f n 0 displaystyle langle f m f n rangle 0 這些多項式則稱為正交多項式 英語 Orthogonal Polynomials 若f i displaystyle f i 除了正交之外 更有 f n f n 1 displaystyle langle f n f n rangle 1 的話 則稱為規範正交多項式 目录 1 例子 2 常見的正交多項式 3 性質 4 外部連結例子 编辑若權函數為1 區間為 1 1 f 0 x 1 displaystyle f 0 x 1 對應的正交多項式有 f 1 x x displaystyle f 1 x x f 2 x 3 x 2 1 2 displaystyle f 2 x frac 3x 2 1 2 f 3 x 5 x 3 3 x 2 displaystyle f 3 x frac 5x 3 3x 2 f 4 x 35 x 4 30 x 2 3 8 displaystyle f 4 x frac 35x 4 30x 2 3 8 displaystyle vdots dd dd 它們稱為勒讓德多項式 對於任意向量空間的基 Gram Schmidt正交化可以求出一個正交基 對於多項式空間的基 正交化的結果便是勒讓德多項式 常見的正交多項式 编辑切比雪夫多項式 雅可比多項式 埃尔米特多项式 拉盖尔多项式 蓋根鮑爾多項式 哈恩多项式 拉卡多项式 查理耶多项式 连续双哈恩多项式 贝特曼多项式 双重哈恩多项式 小q 雅可比多项式 本德尔 邓恩多项式 威尔逊多项式 Q哈恩多项式 大q 雅可比多项式 Q 拉盖尔多项式 Q拉卡多项式 梅西纳多项式 克拉夫楚克多项式 梅西纳 珀拉泽克多项式 连续哈恩多项式 连续q 哈恩多项式 Q梅西纳多项式 阿斯克以 威尔逊多项式 Q克拉夫楚克多项式 大q 拉盖尔多项式 双Q克拉夫楚克多项式 Q查理耶多项式 泽尔尼克多项式 罗杰斯 斯泽格多项式 戈特利布多项式性質 编辑遞歸方程f n 1 a n x b n f n c n f n 1 displaystyle f n 1 a n xb n f n c n f n 1 其中 b n k n 1 k n a n b n k n 1 k n 1 k n k n c n b n k n 1 h n k n h n 1 h n f n f n displaystyle b n frac k n 1 k n qquad a n b n frac k n 1 k n 1 frac k n k n qquad c n b n frac k n 1 h n k n h n 1 qquad h n langle f n f n rangle 實根 所有正交多項式系中的正交多項式都有n displaystyle n 個實根 這些根是相異且在正交區間之內 奇偶性 若W x displaystyle W x 為偶函數 且正交區間為 a a displaystyle a a 則有f n x 1 n f n x displaystyle f n x 1 n f n x 外部連結 编辑Milton Abramowitz and Irene A Stegun eds 1965 Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables New York Dover ISBN 0 486 61272 4 chapter 22 页面存档备份 存于互联网档案馆 Vilmos Totik 2005 Orthogonal Polynomials Surveys in Approximation Theory 1 70 125 Ioana Dumitriu Alan Edelman Gene ShumanMultivariate Orthogonal Polynomials Orthogonal polynomials 页面存档备份 存于互联网档案馆 Springer Online Reference Works 取自 https zh wikipedia org w index php title 正交多項式 amp oldid 74215215, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
