在量綱分析中 無量綱量 dimensionless quantity 又称无因次量 量纲为一的量 quantity of dimension one 指的是沒有量綱的量 它是個單純的數字 量綱為1 無量綱量在數學 物理學 工程學 經濟學以及日常生活中 如數數 被廣泛使用 一些廣為人知的無量綱量包括圓周率 p 歐拉常數 e 和黃金分割率 f 等 與之相對的是有量綱量 擁有諸如長度 面積 時間等單位 無量綱量常寫作兩個有量綱量之積或比 但其最終的綱量互相消除後會得出無量綱量 比如 應變是量度形變的量 定義為長度差與原先長度之比 但由於兩者的量綱均為L 長度 因此相除後得出的量是沒有量綱的 屬性雖然無量綱量本身沒有量綱 但是它也有時被加以無量綱的單位 在分子和分母使用同樣的單位 kg kg或mol mol 有時可以幫助表達所測量的數值 如質量百分濃度或摩爾分數等 某些量還可以表示為不同的單位之比 但這兩個單位的量綱相同 如光年除以米 這種做法可以用於計算圖表中的斜率 或者進行單位轉換 這樣的寫法並不意味著存在量綱 而只不過是符號表達上的慣例 其他常用的無量綱量有 0 01 百分比 0 001 千分比 ppm 10 6 百萬分比 ppb 10 9 十億分比 ppt 10 12 兆分比 萬億分比 以及 度 弧度 百分度 等等 兩個具有相同量綱之比是沒有量綱的 而且無論用甚麼單位計算 該量還是不變的 例如 如果物體A對物體B施大小為F的作用力 那B也會向A施大小為f的力 兩個力的比率F f永遠等於1 見牛頓第三定律 而不取決於測量F和f所用的單位 這是因為物理中一個重要的假設 物理定律是獨立於人們選用的單位制的 如果以上的F f不經常等於1 而在我們從國際單位制轉用厘米 克 秒制時改變了的話 這就意味著牛頓第三定律的真偽要看我們選取哪一種單位制 而這就與假設矛盾了 這一假設是白金漢p定理的基礎 其表述為 所有物理定律均能以數個無量綱量的數學組合 加 減 乘 除等等 寫成恆等式 如果無量綱量組合後的值在替換所用單位制後改變了的話 那麼白金漢p定理就不成立了 白金漢p定理白金漢p定理的另一項推論為 如果n個變數之間有某種函數關係 而這些變數中有k個獨立的量綱 則可以產生p n k個獨立的無量綱量 例子 某磁力攪拌器的電功率是被攪拌液體的密度和黏度 攪拌器的直徑及攪拌速度的函數 因此這裡共有n 5個變量 這n 5個變量共由以下k 3個量綱組成 長度 L m 時間 T s 質量 M kg 根據該定理 通過組合這n 5個變量 可以得出p n k 5 3 2個獨立的無量綱量 此例中的這兩個無量綱量分別為 雷諾數 描述流體流動的無量綱量 功率數 描述攪拌器 同時包含流體密度的無量綱量 例子在10個蘋果中 有1個是壞了的 總蘋果數中壞蘋果的比例為1個蘋果 10個蘋果 0 1 10 這是個無量綱量 角 角的定義為 以圓心為頂點劃出的弧的長度除以某另一長度 這個比率由長度除以長度所得 因此是個無量綱量 當所用的 無量綱 單位為弧度時 那個 另一長度 就是圓的半徑 當單位為角度時 另一長度 就是圓周長的360分之1 圓周率是個無量綱量 定義為圓周長與直徑之比 該數值無論在用甚麼單位量度這些長度時 厘米 英里 光年等等 都會是相同的 只要周長和直徑以同樣的單位量度 無量綱量列表下表中所有的量均為無量綱量 名稱 標準符號 定義 應用範疇阿贝数 V V nd 1nF nC displaystyle V frac n d 1 n F n C 光學 光的色散 活度系數 g g ax displaystyle gamma frac a x 化學 活躍分子或原子佔總數之比 反照率 a displaystyle alpha a 1 D a 8i Da displaystyle alpha 1 D bar alpha theta i D bar bar alpha 氣候學 天文學勞侖茲因子 g displaystyle gamma g 11 v2c2 11 b2 displaystyle gamma frac 1 sqrt 1 frac v 2 c 2 frac 1 sqrt 1 beta 2 相對論阿基米德數 Ar Ar gL3rℓ r rℓ m2 displaystyle Ar frac gL 3 rho ell rho rho ell mu 2 密度差造成的流體運動阿倫尼烏斯數 a displaystyle alpha 活化能與熱能之比相對原子質量 M 化學伯格诺德数 Ba Ba rd2l1 2gm displaystyle Ba frac rho d 2 lambda 1 2 gamma mu 固體塊的流動 如米粒或沙子 比贊數 熱力學 Be Be S gen DT S gen DT S gen Dp displaystyle Be frac dot S gen Delta T dot S gen Delta T dot S gen Delta p 熱傳導不可逆性與由於熱傳導和流體阻力的總不可逆性之比比贊數 流體力學 Be Be DP L2ma displaystyle Be frac Delta P L 2 mu alpha 沿著通道的壓力差Bm Bm tyLmV displaystyle Bm frac tau y L mu V 屈服應力與黏滯應力之比毕奥数 Bi Bi hLC kb displaystyle Bi frac hL C k b 固體的表面傳導率與體積傳導率之比 英语 Blake number Bl或B B Vrm 1 ϵ D displaystyle B frac V rho mu 1 epsilon D 流體穿過多孔介質時慣性相對黏滯力的重要性Bo Bo Re Sc vL D displaystyle Bo Re cdot Sc vL mathcal D 的分佈邦德數 Bo Bo raL2g displaystyle Bo frac rho aL 2 gamma 由浮力推動的毛細作用布林克曼數 Br Br mU2k Tw T0 displaystyle Br frac mu U 2 kappa T w T 0 從容器壁到黏性流體的熱傳導毛細管數和邦德數的組合毛細管數 Ca 受表面張力影響的流體流動 英语 Chandrasekhar number Q displaystyle Q Q B02d2m0rnl displaystyle Q frac B 0 2 d 2 mu 0 rho nu lambda 磁對流 用以表達洛伦兹力與黏度之比靜摩擦係數 ms displaystyle mu s 物體間的靜摩擦動摩擦係數 mk displaystyle mu k 物體互相滑動時的摩擦熱傳導的無量綱係數n displaystyle nu 雙曲型偏微分方程之解达姆科勒数 Da Da kt displaystyle Da k tau 反應時間與共振時間之比阻尼比 z displaystyle zeta z c2km displaystyle zeta frac c 2 sqrt km 系統中阻尼的程度達西阻力係數 Cf displaystyle C f 或f displaystyle f 流體流動狄恩数 D D rVdm d 2R 1 2 displaystyle mathit D frac rho V d mu left frac d 2 R right 1 2 彎曲管道中的流體渦底波拉数 De De tctp displaystyle mathrm De frac t mathrm c t mathrm p 粘彈性流體的分貝 dB 兩個強度之比 通常用於聲音阻力系數 Cd displaystyle C d 流動阻力Du 異質系統中表面電導率與體積電導率之比歐拉常數 e 數學埃克特数 Ec 熱對流傳導埃克曼数 Ek 地球物理學 黏質阻力 彈性 E Ex y Dy yDx x DyDx xy dydx xy displaystyle E x y left frac Delta y y Delta x x right left frac Delta y Delta x cdot frac x y right left frac dy dx cdot frac x y right 經濟學 常用於量度供給和需求如何受價格變化的影響厄特沃什数 Eo 判斷汽泡或液滴形狀Er 液晶流動特性歐拉數 物理學 Eu 流體動力學 壓力與慣性力之比 8r 8r T TeUe2 2cp displaystyle Theta r frac T T e U e 2 2c p 熱力學與流體動力學 英语 Fanning friction factor f 管道中的流體流動费根鲍姆常数 a d displaystyle alpha delta 混沌理論 週期倍增 精細結構常數 a displaystyle alpha a e22e0hc displaystyle alpha frac e 2 2 varepsilon 0 hc 量子電動力學焦比 f displaystyle f 光學 攝影薄壳失稳傅里叶数 Fo 熱傳導菲涅耳数 F F def a2Ll displaystyle F stackrel def frac a 2 L lambda 狹縫衍射福禄数 Fr Fr Vgℓ displaystyle Fr frac V sqrt g ell 波和表面行為增益 電子學 信號輸出與信號輸入之比 單車傳動伽利莱数 Ga Ga Re2Ri gL3n2 displaystyle mathrm Ga Re 2 Ri frac g L 3 nu 2 引力造成的黏質流動黃金分割比 f displaystyle varphi 數學 美學Gz 熱流格拉斯霍夫数 Gr 自由對流aG displaystyle alpha G aG Gme2ℏc displaystyle alpha G frac Gm e 2 hbar c 重力八田數 Ha Ha 2m 1km nCA im 1CB bulknDAkL displaystyle Ha sqrt frac 2 m 1 k m n C A i m 1 C B bulk n D A over k L 化學反應造成的吸附增強哈根數 Hg Hg 1rdpdxL3n2 displaystyle mathrm Hg frac 1 rho frac mathrm d p mathrm d x frac L 3 nu 2 強制對流i 地下水流動Ja Ja cp Ts Tsat hfg displaystyle Ja frac c p T s T sat h fg 液汽相变時所吸收的顯能與潛能之比湍流燃烧Kc數 KC displaystyle K C Kc VTL displaystyle K c frac VT L 震盪流場中物體的阻力與慣性之比克努森数 Kn 分子平均自由程長度與某代表性長度之比Kt V 醫學K 兩相逆流拉普拉斯数 La 混溶流體中的自由對流路易斯数 Le 質量擴散率與熱擴散率之比升力係數 CL displaystyle C L 在某攻角下翼型的升力x displaystyle chi 濕氣的流動地球的硬性S displaystyle S ratio of a resistive time to an crossing time in a plasma马赫数 M M Va displaystyle M frac V a 氣體動力學磁雷诺数 Rm displaystyle R m 磁流体力学n 開放管道流體流動 由引力推動 马兰戈尼数 Mg 由熱表面張力偏差引起的马兰戈尼流莫顿数 Mo 判斷汽泡或液滴形狀KM displaystyle K M 溶液冷凍時的熱傳導與擴散努塞尔特数 Nu Nu hdk displaystyle Nu frac hd k 強制對流下的熱傳導奥内佐格数 Oh 液體霧化 佩克莱特数 Pe Pe durcpk Re Pr displaystyle Pe frac du rho c p k Re Pr 擴散問題 總動量傳遞和分子熱傳遞之間的關係微觀結構與底物的黏附作用導流係數 K 在帶電離子束中空間電荷的強度圓周率 p displaystyle pi 數學 圓周長與直徑之比 泊松比 n displaystyle nu 彈性 橫向與縱向負荷 多孔性 ϕ displaystyle phi 地質學功率因數 電子學 有功功率与视在功率之比 功率數 Np displaystyle N p 攪拌器的功率消耗普兰特数 Pr displaystyle Pr Pr na cpmk displaystyle Pr frac nu alpha frac c p mu k 黏性擴散率與熱擴散率之比CP displaystyle C P 翼型上某個點的壓力品質因子 Q displaystyle Q 描述振子的阻尼弧度 8rad displaystyle theta rad 8rad sr displaystyle theta rad frac s r 量度平面角 1 rad 180 p displaystyle 1 text rad frac 180 circ pi 瑞利数 Ra displaystyle Ra Ra GrPr gbDTL3na displaystyle mathrm Ra mathrm Gr mathrm Pr frac g beta Delta TL 3 nu alpha 自由對流中的浮力和黏滯力折射率 n 電磁學 光學雷诺数 Re displaystyle Re Re vLrm displaystyle Re frac vL rho mu 流體的慣性力與黏滯力之比比重 RD 比重計 物質間的比較理查逊数 Ri 浮力對流動穩定性的影響洛氏硬度 硬度Crr Crr NfF displaystyle C rr frac N f F 車輛動力學罗斯贝数 Ro displaystyle Ro Ro ULF displaystyle Ro frac U LF 地球物理學中的慣性力 描述科里奧利力的影響程度劳斯数 Z或P P wsbku displaystyle mathrm P frac w s beta kappa u 沈積物流移施密特数 Sc Sc nD mrD displaystyle mathit Sc frac nu D frac mu rho D 流體動力學 質量轉移與擴散 H 中排移厚度與動量厚度之比舍伍德数 Sh Sh hDLDfluid displaystyle mathrm Sh frac h D L D fluid 強制對流中的質量轉移t 或8 流體運動造成的沈積物流移的臨界邊層潤滑斯坦顿数 St St hGcp hrucp NuRePr displaystyle St frac h Gc p frac h rho uc p frac mathrm Nu mathrm Re mathrm Pr 強制對流中的熱傳遞Ste Ste CpDTL displaystyle Ste frac C p Delta T L 相變時的熱傳遞斯托克斯数 Stk displaystyle S tk 或Sk displaystyle S k Stk tUodc displaystyle Stk frac tau U o d c 流體流中的粒子動力學應變 ϵ displaystyle epsilon ϵ F X 1 displaystyle epsilon cfrac partial F partial X 1 材料科学 彈性斯特劳哈尔数 St或Sr St fLV displaystyle St fL over V 持續並脈動的流體流動泰勒数 Ta Ta 4W2R4n2 displaystyle Ta frac 4 Omega 2 R 4 nu 2 旋轉的流體流動Ursell數 U U Hl2h3 displaystyle U frac H lambda 2 h 3 在淺流體層上表面引力波的非線性度Va Va ϕPrDa displaystyle Va frac phi Pr Da 在多孔介質中流體流動時 該數影響多孔性ϕ displaystyle phi 普兰特数以及達西阻力係數范特霍夫因子 i i 1 a n 1 displaystyle i 1 alpha n 1 化學定量分析 Kf及Kb J a R wrm 12 displaystyle alpha R left frac omega rho mu right frac 1 2 多相流體流動時的韦伯数 We We rv2ls displaystyle We frac rho v 2 l sigma 表面極為彎曲的多相流體流動魏森贝格数 Wi Wi g l displaystyle Wi dot gamma lambda 粘彈性流體流動沃默斯利数 a displaystyle alpha a R wrm 12 displaystyle alpha R left frac omega rho mu right frac 1 2 持續並脈動的流體流動無量綱的物理常數一些基本物理常數 如真空中的光速 萬有引力常數 普朗克常數和波兹曼常数等等 在適當挑選時間 長度 質量 電荷及溫度等單位後 可以歸一 數值為1 這種單位制被稱為自然單位制 不過不可能在每一個單位制中都把所有的物理常數歸一 剩餘的量必須以實驗判定 這些剩餘的量包括 a 精細結構常數 電磁交互作用的耦合常数 a 1 137 m或b 質子與電子的不變質量之比 可更廣義地指所有基本粒子相對電子的不變質量之比 m 1836 as 強相互作用的耦合常數 aG 重力的耦合常數 aG 1 75 10 45 注释其他称呼另有 无维量 无维度量 无维数量 无次元量等參見量綱分析 標準化 白金漢p定理参考文献 2022 04 28 原始内容存档于2022 04 28 https www termonline cn word 6875 1 2022 04 28 原始内容存档于2022 04 28 1 8 1 6 quantity of dimension one dimensionless quantity International vocabulary of metrology Basic and general concepts and associated terms VIM ISO 2008 2011 03 22 原始内容于2012 10 04 Table of Dimensionless Numbers PDF 2009 11 05 原始内容 PDF 于2016 03 03 Bagnold number 互联网档案馆的 存档日期2005 05 10 Paoletti S Rispoli F Sciubba E Calculation of exergetic losses in compact heat exchanger passager ASME AES 1989 10 2 21 9 Bhattacharjee S Grosshandler W L The formation of wall jet near a high temperature wall under microgravity environment ASME MTD 1988 96 711 6 Bond number 互联网档案馆的 存档日期2012 03 05 Courant Friedrich Levy number 互联网档案馆的 存档日期2008 06 05 Schetz Joseph A Boundary Layer Analysis Englewood Cliffs NJ Prentice Hall Inc 1993 132 134 ISBN 0 13 086885 X 2013 01 31 原始内容存档于2013 12 20 2013 01 31 原始内容存档于2009 08 16 Fresnel number 互联网档案馆的 存档日期2011 10 01 2013 01 31 原始内容存档于2016 01 05 Incropera Frank P Fundamentals of heat and mass transfer John Wiley amp Sons Inc 2007 376 Lockhart Martinelli parameter Archive It的存檔 存档日期2008 12 17 Manning coefficient PDF 109 KB Katz J I When hot water freezes before cold Am J Phys 2009 77 27 29 Bibcode 2009AmJPh 77 27K arXiv physics 0604224 doi 10 1119 1 2996187 1 页面存档备份 存于互联网档案馆 Mpemba number 2013 01 31 原始内容存档于2005 10 26 Richardson number 互联网档案馆的 存档日期2015 03 02 Schmidt number 互联网档案馆的 存档日期2010 01 24 2013 01 31 原始内容存档于2016 03 16 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