連心力, 在物理學裏, 作用力可以分類為, central, force, 與非, 的方向永遠指向一個固定點, 稱此點為力中心點, 許多宇宙最基本的力, 像萬有引力, 靜電力, 都是, 而勞侖茲力的磁力部分則乃非, 以方程式表達為, displaystyle, mathbf, mathbf, 其中, displaystyle, mathbf, displaystyle, mathbf, 是從力中心點到檢驗位置的徑向向量, 可以進一步細分為兩種版本, 強版本和弱版本, 強版要求跟徑向距離有關, displaystyl. 在物理學裏 作用力可以分類為連心力 central force 與非連心力 連心力的方向永遠指向一個固定點 稱此點為力中心點 許多宇宙最基本的力 像萬有引力 靜電力 都是連心力 而勞侖茲力的磁力部分則乃非連心力 1 連心力以方程式表達為 F F r displaystyle mathbf F F hat mathbf r 其中 F displaystyle mathbf F 是連心力 r displaystyle mathbf r 是從力中心點到檢驗位置的徑向向量 連心力可以進一步細分為兩種版本 強版本和弱版本 強版連心力要求連心力跟徑向距離有關 F F r r displaystyle mathbf F F r hat mathbf r 弱版連心力沒有這嚴厲的條件 在物理學裏 大多數重要的連心力都是強版連心力 簡單擺的繩索作用於擺錘的拉力是一種弱版連心力 這拉力的方向是徑向方向 但對於小角度擺動 拉力的大小可以近似為一個常量 是擺錘感受到的重力大小 目录 1 角動量恆定 2 平面運動 3 平面速度恆定 4 連心勢 5 有效勢能 6 有心运动的轨迹的确定 6 1 平方反比类有心力的运动轨迹方程 6 2 任意幂次有心力的情况 7 參閱 8 注释和参考文献角動量恆定 编辑假設一個粒子 感受到連心力F displaystyle mathbf F nbsp 的作用 則施加於此粒子的力矩t displaystyle boldsymbol tau nbsp 為零 t r F r F r 0 displaystyle boldsymbol tau mathbf r times mathbf F mathbf r times F hat mathbf r 0 nbsp 角動量L displaystyle mathbf L nbsp 對於時間t displaystyle t nbsp 的導數是力矩 d L d t t displaystyle frac d mathbf L dt boldsymbol tau nbsp 所以 角動量守恆 是個常數 平面運動 编辑關於此粒子的運動 r L r r m v 0 displaystyle mathbf r cdot mathbf L mathbf r cdot mathbf r times m mathbf v 0 nbsp 此粒子的位置向量r displaystyle mathbf r nbsp 垂直於恆定的角動量L displaystyle mathbf L nbsp 所以 此粒子的運動必局限於垂直於角動量的平面 平面速度恆定 编辑採用極坐標系 r 8 displaystyle r theta nbsp 來表示此粒子的平面運動 原點為力中心點 則角動量為 L m r 2 8 displaystyle L mr 2 dot theta nbsp 這裏 m displaystyle m nbsp 是粒子的質量 8 displaystyle dot theta nbsp 是角速度 粒子與力中心點的連線 掃過的平面的平面速度d A d t displaystyle frac dA dt nbsp 為 d A d t 1 2 r 2 8 L 2 m displaystyle frac dA dt frac 1 2 r 2 dot theta frac L 2m nbsp 所以 受連心力作用的粒子與力中心點的連線 掃過的平面 速度恆定 連心勢 编辑主条目 保守力 假若連心力F displaystyle mathbf F nbsp 是一個函數V r displaystyle V mathbf r nbsp 的負梯度 F V r displaystyle mathbf F nabla V mathbf r nbsp 則連心力是保守力 連心力的旋度是0 F V 0 displaystyle nabla times mathbf F nabla times nabla V 0 nbsp 對於任何簡單的閉合迴路 連心力所做的機械功W displaystyle W nbsp 是0 W C F d r 0 displaystyle W oint C mathbf F cdot d mathbf r 0 nbsp 此函數V displaystyle V nbsp 是一個純量勢 注意到由於F F r displaystyle mathbf F F hat mathbf r nbsp 純量勢V displaystyle V nbsp 只能跟r displaystyle r nbsp 有關 F V r r displaystyle mathbf F frac partial V partial r hat mathbf r nbsp 稱V r displaystyle V r nbsp 為連心勢 連心力也只能跟r displaystyle r nbsp 有關 F F r r displaystyle mathbf F F r hat mathbf r nbsp 這連心力是強版連心力 有效勢能 编辑一个運動於勢能V r displaystyle V r nbsp 的粒子的拉格朗日量等於動能减去勢能 L r 8 m 2 r 2 r 2 8 2 V r displaystyle mathcal L r theta frac m 2 left dot r 2 r 2 dot theta 2 right V r nbsp 其拉格朗日方程式為 m r m r 8 2 F r 0 displaystyle m ddot r mr dot theta 2 F r 0 nbsp d d t m r 2 8 0 displaystyle frac mathrm d mathrm d t mr 2 dot theta 0 nbsp 其中 F r V r r displaystyle F r frac partial V r partial r nbsp 為連心力 由於連心勢與角坐標8 displaystyle theta nbsp 無關 因此其共軛動量 角動量 是個運動常數 P 8 d e f L 8 m r 2 8 displaystyle P theta stackrel def frac partial mathcal L partial theta mr 2 dot theta nbsp 為了善用此運動常數 應用勒让德变换轉到相空間得到哈密顿量和運動方程式 p r d d r P 8 2 2 m r 2 V r displaystyle dot p r frac mathrm d mathrm d r left frac P theta 2 2mr 2 V r right nbsp 因此 可得到粒子的徑向運動等同於一個在以下有效勢能中的一維運動 V E f f r P 8 2 2 m 1 r 2 V r displaystyle V rm Eff r frac P theta 2 2m frac 1 r 2 V r nbsp 星体在1 r 2 displaystyle frac 1 r 2 nbsp 萬有引力下運動的有效勢能是 V E f f r P 8 2 2 m 1 r 2 K r displaystyle V rm Eff r frac P theta 2 2m frac 1 r 2 frac K r nbsp 因此可以看到 有效勢能所造成的作用力 在短距离因為角動量守恆項目而排斥 在遠距离因為萬有引力項目而吸引 两者平衡點 即有效勢能最低點 正是圓形軌道半徑 有心运动的轨迹的确定 编辑有心力的运动轨道可以用比内 Binet 公式来计算 在平面极坐标系中 如果令 u 1 r h L 0 m displaystyle u frac 1 r h frac L 0 m nbsp 其中L 0 displaystyle L 0 nbsp 为物体做有心运动时的角动量 则有 m h 2 u 2 d 2 u d 8 2 u F u displaystyle mh 2 u 2 frac d 2 u d theta 2 u F u nbsp 解这个微分方程 2 可以得到运动轨迹的半径与角度的关系 3 r 1 u 8 r 8 displaystyle r frac 1 u theta r theta nbsp 平方反比类有心力的运动轨迹方程 编辑 将大小与到力心位置距离成平方反比的有心力表示为 F r k r 2 displaystyle F r frac k r 2 nbsp 将它代入上述的方程 得到 m h 2 u 2 d 2 u d 8 2 u k r 2 displaystyle mh 2 u 2 frac d 2 u d theta 2 u frac k r 2 nbsp 通过移项整理 可以得到一个二阶常系数线性非齐次方程 d 2 u d 8 2 m f u 0 displaystyle frac d 2 u d theta 2 mf u 0 nbsp 的式子 其中m displaystyle m nbsp 为移项整理后关于f u displaystyle f u nbsp 这个多项式的外层系数 通过类比弹簧振子简谐运动方程的求解方法 4 可以类似地解得上述方程的通解 r 1 u m h 2 k 2 1 m h 2 k 2 cos 8 8 0 displaystyle r frac 1 u frac frac mh 2 k 2 1 frac mh 2 k 2 cos theta theta 0 nbsp 可以看出 其运动轨迹为圆锥曲线中的一种 任意幂次有心力的情况 编辑 物体在有心力作用下的运动情况常常涉及复杂的二阶线性非齐次方程 表现为非线性动力学问题 5 作为特殊情况 当有心力可以表示为反比或者平方反比时 通常可以像以上算法来简化微分方程的求解 这也给天文学家分析问题带来了很大的方便 6 但是其他幂次的情况则复杂得多 參閱 编辑克卜勒問題 伯特蘭定理 三體問題注释和参考文献 编辑 Goldstein Herbert Classical Mechanics 3rd United States of America Addison Wesley 1980 pp 7 ISBN 0201657023 引文格式1维护 冗余文本 link 这是个二阶常系数非齐次线性方程 陈世民 理论力学简明教程 高等教育出版社 49页 ISBN 978 7 04 023918 8 弹簧振子简谐振动的运动微分方程d 2 r d t 2 k x m 0 displaystyle frac d 2 r dt 2 frac kx m 0 nbsp 有通解为 r A cos w t displaystyle r A cos omega t nbsp 其中A displaystyle A nbsp 为积分常数 可以通过初始条件确定 w k m displaystyle omega sqrt frac k m nbsp 为简谐振的角速度 陈世民 理论力学简明教程 高等教育出版社 63页 ISBN 978 7 04 023918 8 万有引力即是典型的平方反比类型的力 取自 https zh wikipedia org w index php title 連心力 amp oldid 69445313, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,