拉格朗日方程式

拉格朗日方程式（Lagrange equation），因數學物理學家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力學的重要方程式，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相當於牛頓力學中的牛頓第二定律。

約瑟夫·拉格朗日

定義

假設一個物理系統符合完整系統的要求，即所有廣義座標都互相獨立，則拉格朗日方程式成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {0} \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}$ 是拉格朗日量，${\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)\,\!}$ 是廣義座標，是時間${\displaystyle t\,\!}$ 的函數，${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=\left({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{N}\right)\,\!}$ 是廣義速度。

導引

在分析力學裏，有三種方法可以導引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程式（參閱達朗貝爾原理）；更進階層面，可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程式（參閱哈密頓原理）；最簡明地，可以借用數學變分法的歐拉-拉格朗日方程式來推導：

設定函數${\displaystyle \mathbf {y} (x)\,\!}$ 和${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}$ ：

${\displaystyle \mathbf {y} (x)=(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,y_{N}(x))\,\!}$ 、

${\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}(x)=({\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x))\,\!}$ 、

${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=f(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,\ y_{N}(x),\ {\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x),\ x)\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle x\,\!}$ 是自變數（independent variable）。

若${\displaystyle \mathbf {y} (x)\in (C^{1}[a,\ b])^{N}\,\!}$ 使泛函${\displaystyle J(\mathbf {y} )=\int _{a}^{b}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)dx\,\!}$ 取得局部平穩值，則在區間${\displaystyle (a,\ b)\,\!}$ 內，歐拉-拉格朗日方程式成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\right)-{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=0\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ \ldots ,\ N\!}$ 。

現在，執行下述轉換：

• 設定獨立變數${\displaystyle x\,\!}$ 為時間${\displaystyle t\,\!}$ 、
• 設定函數${\displaystyle y_{i}\,\!}$ 為廣義坐標${\displaystyle q_{i}\,\!}$ 、
• 設定泛函${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}$ 為拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}$ ，

則可得到拉格朗日方程式

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {0} \,\!}$ 。

• 為了滿足這轉換的正確性，廣義坐標必須互相獨立，所以，這系統必須是完整系統。
• 拉格朗日量是動能減去位勢，而位勢必須是廣義位勢。所以，這系統必須是單演系統。

半完整系統

主項目：參閱半完整系統

一個不是完整系統的物理系統是非完整系統，不能用上述形式論來分析。假若，一個非完整系統的約束可以以方程式表示為

${\displaystyle g_{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})=0\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n\,\!}$ ；

則稱此系統為半完整系統^[1]。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$ ：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}=0\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}$ 是未知函數。

由於這${\displaystyle N\,\!}$ 個廣義坐標中，有${\displaystyle n\,\!}$ 個相依的廣義坐標，泛函${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}$ 不能直接被轉換為拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$ ；必須加入拉格朗日乘子，將泛函${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}$ 轉換為${\displaystyle {\mathcal {L}}+\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\,\!}$ 。這樣，可以得到拉格朗日廣義力方程式：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}={\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!}$ 是廣義力，${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)-{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)\right]\,\!}$ 。

這${\displaystyle N\,\!}$ 個廣義力運動方程式加上${\displaystyle n\,\!}$ 個約束方程式，給出${\displaystyle N+n\,\!}$ 個方程式來解${\displaystyle N\,\!}$ 個未知廣義坐標與${\displaystyle n\,\!}$ 個拉格朗日乘子。

實例

這個段落會展示拉格朗日方程式的兩個應用實例。第一個實例展示出，用牛頓方法與拉格朗日方法所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力，因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。

自由落體

思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於重力${\displaystyle F=mg\,\!}$ 作用於此粒子，應用牛頓第二定律，可以得到運動方程式

${\displaystyle {\ddot {x}}=g\,\!}$ ；

其中，x-坐標垂直於地面，由初始點（原點）往地面指。

這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能${\displaystyle T\,\!}$ 是

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!}$ ，

位勢${\displaystyle V\,\!}$ 是

${\displaystyle V=-mgx\,\!}$ ；

所以，拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$ 是

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+mgx\,\!}$  。

將${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$ 代入拉格朗日方程式，

${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=m{\frac {d{\dot {x}}}{dt}}-mg\,\!}$ 。

運動方程式是

${\displaystyle {\ddot {x}}=g\,\!}$ ；

與牛頓方法的運動方程式相同。

具有質量的移動支撐點的簡單擺

 

思考一個簡單擺系統。系統的x-軸平行於地面，y-軸垂直於x-軸，指向地面。擺錘P的質量是${\displaystyle m\,\!}$ ，位置是${\displaystyle (x,\ y)\,\!}$ 。擺繩的長度是${\displaystyle l\,\!}$ 。擺的支撐點Q的質量是${\displaystyle M\,\!}$ 。這支撐點Q可以沿著一條平行於x-軸的直線移動。點Q的位置是${\displaystyle (X,\ 0)\,\!}$ 。擺繩與y-軸的夾角是${\displaystyle \theta \,\!}$ 。那麼，動能是

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)\,\!}$ ，

位勢為

${\displaystyle V=-mgy\,\!}$ 。

所以，拉格朗日量是

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)+mgy\,\!}$ 。

兩個約束方程式為

${\displaystyle x=X+l\sin \theta \,\!}$ 、

${\displaystyle y=l\cos \theta \,\!}$ 。

將約束方程式代入拉格朗日量方程式,

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {X}}+l{\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(l{\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mgl\cos \theta \,\!}$ 。

特別注意，在這裏，廣義坐標是${\displaystyle X\,\!}$ 與${\displaystyle \theta \,\!}$ 。應用拉格朗日方程式，經過微分運算，對於${\displaystyle X\,\!}$ 坐標，可以得到

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[(M+m){\dot {X}}+ml{\dot {\theta }}\cos \theta \right]=0\,\!}$ 。

運動方程式為

${\displaystyle (M+m){\ddot {X}}+ml{\ddot {\theta }}\cos \theta -ml{\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =0\,\!}$ 。

由於拉格朗日量不顯含廣義坐標${\displaystyle X\,\!}$ ，稱${\displaystyle X\,\!}$ 為可略坐標，而其相對應的廣義動量${\displaystyle p_{X}\,\!}$ 是常數${\displaystyle K_{1}\,\!}$ ：

${\displaystyle p_{X}=(M+m){\dot {X}}+ml{\dot {\theta }}\cos \theta =K_{1}\,\!}$ 。

對於${\displaystyle \theta \,\!}$ 坐標，可以得到

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[m(l^{2}{\dot {\theta }}+{\dot {X}}l\cos \theta )\right]+m({\dot {X}}l{\dot {\theta }}+gl)\sin \theta =0\,\!}$ ；

所以，運動方程式為

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {X}}{l}}\cos \theta +{\frac {g}{l}}\sin \theta =0\,\!}$ 。

假如用牛頓第二定律，則必須仔細地辨明所有的相關作用力。這是一項既困難又容易出錯的工作。

相關條目

•  物理学主题

• 拉格朗日量
• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 牛頓力學
• 變分法

參考文獻

1. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)