^Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023(英语). 引文格式1维护:冗余文本 (link)
Jack Sarfatti. (PDF). Pedagogical Review from the Classics of Physics. 2000-03-26. (原始内容 (PDF)存档于2007-10-20) (英语).
十二月 30, 2022
非完整系統, 在古典力學裏, 假如, 一個系統有任何約束是非完整約束, 則稱此系統為, 非完整約束不是完整約束, 完整約束可以用方程式表示為, displaystyle, dots, 這裏, displaystyle, 是每一個粒子p, displaystyle, 之位置x, displaystyle, 和時間t, displaystyle, 的函數, 非完整約束不能夠用上述方程式表示, 目录, 廣義坐標的轉換, 微分形式表示, 半完整系統, 實例, 參閱, 參考文獻廣義坐標的轉換, 编辑完整約束方程式與位置, 時. 在古典力學裏 假如 一個系統有任何約束是非完整約束 則稱此系統為非完整系統 非完整約束不是完整約束 完整約束可以用方程式表示為 f x 1 x 2 x 3 x N t 0 displaystyle f x 1 x 2 x 3 dots x N t 0 這裏 f displaystyle f 是每一個粒子P i displaystyle P i 之位置x i displaystyle x i 和時間t displaystyle t 的函數 非完整約束不能夠用上述方程式表示 目录 1 廣義坐標的轉換 2 微分形式表示 3 半完整系統 4 實例 5 參閱 6 參考文獻廣義坐標的轉換 编辑完整約束方程式與位置 時間有關 與速度無關 完整約束方程式可以很簡易地除去指定的變數 假設變數x d displaystyle x d 是完整約束函數f k displaystyle f k 裏的一個參數 現在指定除去x d displaystyle x d 重新編排上述約束方程式 求出表示x d displaystyle x d 的函數g k displaystyle g k x d g k x 1 x 2 x 3 x d 1 x d 1 x N t displaystyle x d g k x 1 x 2 x 3 dots x d 1 x d 1 dots x N t 將函數g k displaystyle g k 代入所有提到x d displaystyle x d 的方程式 這樣 可以除去所有指定變數x d displaystyle x d 假設一個物理系統原本的自由度是N displaystyle N 現在 將h displaystyle h 個完整約束作用於此系統 那麼 這系統的自由度減少為m N h displaystyle m N h 可以用m displaystyle m 個獨立廣義座標 q 1 q 2 q m displaystyle q 1 q 2 dots q m 來完全描述這系統的運動 座標的轉換方程式可以表示如下 x i x i q 1 q 2 q m t i 1 2 3 N displaystyle x i x i q 1 q 2 dots q m t qquad qquad qquad i 1 2 3 dots N 換句話說 由於非完整約束無法依照上述方法 來除去其所含廣義座標 完全描述非完整系統 所需要的廣義座標數目 大於自由度 微分形式表示 编辑約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示 思考第i displaystyle i 個約束的微分形式的約束方程式 j c i j d q j c i d t 0 displaystyle sum j c ij dq j c i dt 0 這裏 c i j displaystyle c ij c i displaystyle c i 分別為微分d q j displaystyle dq j 與d t displaystyle dt 的係數 假若此約束方程式是可積分的 也就是說 有一個函數f i q 1 q 2 q 3 q N t 0 displaystyle f i q 1 q 2 q 3 dots q N t 0 的全微分滿足下述等式 d f i j c i j d q j c i d t 0 displaystyle df i sum j c ij dq j c i dt 0 那麼 此約束是完整約束 否則 此約束是非完整約束 因此 所有的完整約束與某些非完整約束可以用微分形式的方程式來表示 不是所有的非完整約束都可以這樣表示 含有廣義速度的非完整約束就不能這樣表示 所以 假若知道一個約束的微分形式的約束方程式 這約束到底是完整約束 還是非完整約束 需要看微分形式的約束方程式能否積分來決定 半完整系統 编辑表示非完整約束的方程式往往比較複雜 因此 非完整系統也比較難分析 只有簡易一點的非完整系統能用形式論來分析 假如 一個非完整系統的約束可以用以下方程式表示 f i q 1 q 2 q N q 1 q 2 q N 0 i 1 2 3 n displaystyle f i q 1 q 2 dots q N dot q 1 dot q 2 dots dot q N 0 qquad qquad qquad i 1 2 3 dots n 則稱此系統為半完整系統 1 這裏 q j displaystyle dot q j 是廣義速度 半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析 更具體地說 分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子l i displaystyle lambda i i 1 n l i f i 0 displaystyle sum i 1 n lambda i f i 0 這裏 l i l i q 1 q 2 q N q 1 q 2 q N t displaystyle lambda i lambda i q 1 q 2 dots q N dot q 1 dot q 2 dots dot q N t 是未知函數 假設哈密頓原理成立 則下述方程式成立 d t 1 t 2 L d t 0 displaystyle delta int t 1 t 2 L dt 0 這裏 L displaystyle L 是拉格朗日量 t 1 displaystyle t 1 與t 2 displaystyle t 2 分別為積分的時間下限與上限 經過變分法運算 可以得到方程式 t 1 t 2 j L q j d d t L q j d q j d t 0 displaystyle int t 1 t 2 sum j left frac partial L partial q j frac d dt left frac partial L partial dot q j right right delta q j dt 0 由於這N displaystyle N 個廣義座標中 仍舊有n displaystyle n 個不獨立廣義座標 不能將拉格朗日方程式提取出來 必須加入拉格朗日乘子項目 d t 1 t 2 L i 1 n l i f i d t 0 displaystyle delta int t 1 t 2 left L sum i 1 n lambda i f i right dt 0 經過變分法運算 可以得到方程式 t 1 t 2 j L q j d d t L q j F j d q j d t 0 displaystyle int t 1 t 2 sum j left frac partial L partial q j frac d dt left frac partial L partial dot q j right mathcal F j right delta q j dt 0 這裏 F j displaystyle mathcal F j 是廣義力的j displaystyle j 分量 F j i l i f i q j d d t l i f i q j displaystyle mathcal F j sum i left frac partial lambda i f i partial q j frac d dt left frac partial lambda i f i partial dot q j right right 雖然還有n displaystyle n 個不獨立廣義座標 仍舊可以調整n displaystyle n 加入的拉格朗日乘子 使總和公式內的每一個虛位移d q j displaystyle delta q j 的係數都等於0 因此 d d t L q j L q j F j displaystyle frac d dt left frac partial L partial dot q j right frac partial L partial q j mathcal F j 這N displaystyle N 個方程式加上n displaystyle n 個約束方程式 給予了N n displaystyle N n 個方程式來解N displaystyle N 個未知廣義座標與n displaystyle n 個拉格朗日乘子 實例 编辑非完整系統至少存在於以下三個狀況 物體在做滾動運動 系統的約束包括不等式 系統的約束與速度有關 例如普法夫約束 參閱 编辑拉格朗日力學 哈密頓力學 完整系統 定常系統 單演系統 保守系統 平行停車問題 落貓問題 自行車及摩托車的動力學參考文獻 编辑 Goldstein Herbert Classical Mechanics 3rd United States of America Addison Wesley 1980 pp 46 47 ISBN 0201657023 英语 引文格式1维护 冗余文本 link Jack Sarfatti Non Holonomic Constraints in Newtonian Mechanics PDF Pedagogical Review from the Classics of Physics 2000 03 26 原始内容 PDF 存档于2007 10 20 英语 取自 https zh wikipedia org w index php title 非完整系統 amp oldid 71381203, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,