定常系統

在經典力學裏，如果一個系統的所有約束都是定常約束（scleronomous constraint），則稱此系統為定常系統（scleronomous system）。定常約束顯性地不含時間。假若約束顯性地含時間，則稱此約束為非定常約束。

應用

主要項目：廣義速度

在三維空間裏，一個質量為${\displaystyle m}$ 、速度為${\displaystyle \mathbf {v} }$ 的粒子的動能是

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}}$ 。

速度是位置${\displaystyle \mathbf {r} }$ 對於時間${\displaystyle t}$ 的導數。應用偏微分連鎖律，可以得到

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{dq_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{dt}}}$ ；

其中，${\displaystyle q_{i}}$ 是第${\displaystyle i}$ 個廣義坐標，${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ 是對應的廣義速度。

所以，

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\sum _{i}\ \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}}$ 。

將方程式展開^[1]，動能可以分為三個項目表示：

${\displaystyle T=T_{0}+T_{1}+T_{2}}$ ；

其中，

${\displaystyle T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}}$ ，

${\displaystyle T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}}$ ，

${\displaystyle T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},\!}$ 。

${\displaystyle T_{0}}$ 、${\displaystyle T_{1}}$ 、${\displaystyle T_{2}}$ 分別為廣義速度${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ 的0次、1次、2次齊次函數。如果這系統是定常系統，位置不顯性地含時間，${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0}$ ，則只有${\displaystyle T_{2}}$ 不等於零。所以，${\displaystyle T=T_{2}}$ ，動能是廣義速度的2次齊次函數。

實例1：單擺

 

單擺

如右圖所示，單擺是由一個擺錘與一條繩子組成的簡單機械；繩子的上端固定，下端繫著擺錘。由於這繩子是無法伸縮的，繩子的長度是常數。所以，這系統是定常系統；它遵守定常約束

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0}$ ；

其中，${\displaystyle (x,\ y)}$ 是擺錘的位置，${\displaystyle L}$ 是擺長。

實例2：受驅擺

 

單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動。

參考右圖，假設一個單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動：

${\displaystyle x_{t}=x_{0}\cos \omega t}$ ；

這裏，${\displaystyle x_{0}}$ 是振幅，${\displaystyle \omega }$ 是角頻率，${\displaystyle t}$ 是時間。

由於無法伸縮繩子的長度是常數，擺錘與繩子上端的直線距離保持不變。但是，因為單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動，這個受驅擺系統是非定常系統；它遵守非定常約束

${\displaystyle {\sqrt {(x-x_{0}\cos \omega t)^{2}+y^{2}}}-L=0}$ 。

參閱

• 拉格朗日力學
• 完整系統
• 非定常系統
• 單演系統
• 保守系統

參考文獻

1. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 25. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)