齐次函数, 在數學中, 是一個有倍數性質的函數, 如果变數乘以一個係數, 則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍, 目录, 正式定义, 例子, 基本定理, 用于解微分方程, 参考文献, 外部链接正式定义, 编辑假设f, displaystyle, rightarrow, 是域f, displaystyle, 内的两个向量空间之间的函数, 我们说f, displaystyle, displaystyle, 如果对于所有非零的α, displaystyle, alpha, 和v, displaystyle, mathb. 在數學中 齐次函数是一個有倍數性質的函數 如果变數乘以一個係數 則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍 目录 1 正式定义 2 例子 3 基本定理 4 用于解微分方程 5 参考文献 6 外部链接正式定义 编辑假设f V W displaystyle f V rightarrow W 是域F displaystyle F 内的两个向量空间之间的函数 我们说f displaystyle f 是 k displaystyle k 次齐次函数 如果对于所有非零的a F displaystyle alpha in F 和v V displaystyle mathbf v in V 都有 f a v a k f v displaystyle f alpha mathbf v alpha k f mathbf v 即是 在歐幾里得空間 f a v f k f v displaystyle f alpha mathbf v f k f mathbf v 其中f k displaystyle f k 為指數函數 例子 编辑线性函数f V W displaystyle f V rightarrow W 是一次齐次函数 因为根据线性的定义 对于所有的a F displaystyle alpha in F 和v V displaystyle mathbf v in V 都有 f a v a f v displaystyle f alpha mathbf v alpha f mathbf v 多线性函数f V 1 V n W displaystyle f V 1 times ldots times V n rightarrow W 是n次齐次函数 因为根据多线性的定义 对于所有的a F displaystyle alpha in F 和v 1 V 1 v n V n displaystyle mathbf v 1 in V 1 ldots mathbf v n in V n 都有 f a v 1 a v n a n f v 1 v n displaystyle f alpha mathbf v 1 ldots alpha mathbf v n alpha n f mathbf v 1 ldots mathbf v n 从上一个例子中可以看出 两个巴拿赫空间X displaystyle X 和Y displaystyle Y 之间的函数f X Y displaystyle f X rightarrow Y 的n displaystyle n 阶弗雷歇导数是n displaystyle n 次齐次函数 n displaystyle n 元单项式定义了齐次函数f R n R displaystyle f mathbb R n rightarrow mathbb R 例如 f x y z x 5 y 2 z 3 displaystyle f x y z x 5 y 2 z 3 是10次齐次函数 因为 a x 5 a y 2 a z 3 a 10 x 5 y 2 z 3 displaystyle alpha x 5 alpha y 2 alpha z 3 alpha 10 x 5 y 2 z 3 齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式 例如 x 5 2 x 3 y 2 9 x y 4 displaystyle x 5 2x 3 y 2 9xy 4 是5次齐次多项式 齐次多项式可以用来定义齐次函数 基本定理 编辑欧拉定理 假设函数f R n R displaystyle f mathbb R n rightarrow mathbb R 是可导的 且是k displaystyle k 次齐次函数 那么 x f x k f x displaystyle mathbf x cdot nabla f mathbf x kf mathbf x qquad 这个结果证明如下 记f f x 1 x n f x displaystyle f f x 1 ldots x n f mathbf x 并把以下等式两端对a displaystyle alpha 求导 f a x a k f x displaystyle f alpha mathbf x alpha k f mathbf x 利用复合函数求导法则 可得 a x 1 f a x d d a a x 1 a x n f a x d d a a x n k a k 1 f x displaystyle frac partial partial alpha x 1 f alpha mathbf x frac mathrm d mathrm d alpha alpha x 1 cdots frac partial partial alpha x n f alpha mathbf x frac mathrm d mathrm d alpha alpha x n k alpha k 1 f mathbf x 因此 x 1 a x 1 f a x x n a x n f a x k a k 1 f x displaystyle x 1 frac partial partial alpha x 1 f alpha mathbf x cdots x n frac partial partial alpha x n f alpha mathbf x k alpha k 1 f mathbf x 以上的方程可以用劈形算符写为 x f a x k a k f x x 1 x n displaystyle mathbf x cdot nabla f alpha mathbf x k alpha k f mathbf x qquad nabla frac partial partial x 1 ldots frac partial partial x n 当a 1 displaystyle alpha 1 定理即得证 假设f R n R displaystyle f mathbb R n rightarrow mathbb R 是可导的 且是k displaystyle k 阶齐次函数 则它的一阶偏导数 f x i displaystyle partial f partial x i 是k 1 displaystyle k 1 阶齐次函数 这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明 记f f x 1 x n f x displaystyle f f x 1 ldots x n f mathbf x 并把以下等式两端对x i displaystyle x i 求导 f a x a k f x displaystyle f alpha mathbf x alpha k f mathbf x 利用复合函数求导法则 可得 a x i f a x d d x i a x i a k x i f x d d x i x i displaystyle frac partial partial alpha x i f alpha mathbf x frac mathrm d mathrm d x i alpha x i alpha k frac partial partial x i f mathbf x frac mathrm d mathrm d x i x i 因此 a a x i f a x a k x i f x displaystyle alpha frac partial partial alpha x i f alpha mathbf x alpha k frac partial partial x i f mathbf x 所以 a x i f a x a k 1 x i f x displaystyle frac partial partial alpha x i f alpha mathbf x alpha k 1 frac partial partial x i f mathbf x 用于解微分方程 编辑对于以下的微分方程 I x y d y d x J x y 0 displaystyle I x y frac mathrm d y mathrm d x J x y 0 其中I displaystyle I 和J displaystyle J 是同次数的齐次函数 利用变量代换v y x displaystyle v y x 可以把它化为可分离变量的微分方程 x d v d x J 1 v I 1 v v displaystyle x frac mathrm d v mathrm d x frac J 1 v I 1 v v 参考文献 编辑Blatter Christian 20 Mehrdimensionale Differentialrechnung Aufgaben 1 Analysis II 2nd ed Springer Verlag 1979 p 188 ISBN 3 540 09484 9 德语 引文格式1维护 冗余文本 link 外部链接 编辑Hazewinkel Michiel 编 Homogeneous function 数学百科全书 Springer 2001 ISBN 978 1 55608 010 4 Homogeneous function PlanetMath 取自 https zh wikipedia org w index php title 齐次函数 amp oldid 75950654, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,