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正十六胞體堆砌

十月 16, 2023

在四維空間幾何學中，正十六胞體堆砌是三種四維空間正堆砌體之一，由正十六胞體獨立堆砌而成，每個條稜周圍都環繞著3個正十六胞體，其頂點圖為正二十四胞體。正十六胞體堆砌的對偶多胞體是正二十四胞體，換句話說即正二十四胞體的頂點恰位於正十六胞體堆砌每個胞的幾何中心，反之正十六胞體堆砌的頂點也位於正二十四胞體每個胞的幾何中心。

正十六胞體堆砌
類型正四維堆砌
維度4
對偶多胞形正二十四胞體堆砌
數學表示法
考克斯特符號
（英语：Coxeter-Dynkin diagram）



施萊夫利符號{3,3,4,3}
性質
四維胞{3,3,4}
胞{3,3}
面{3}
歐拉示性數0
組成與佈局
棱圖立方體
顶点图
正二十四胞體
對稱性
考克斯特群 = [3,3,4,3]
特性
正

由於正十六胞體堆砌是一種完全密鋪完四維空間的一種幾何結構，就像是二維空間的平面三角形網格在四維空間的類比。正十六胞體堆砌的頂點排佈（英语：vertex arrangement）所形成的四維網格又稱為, D4或F4網格（英语：F4 (mathematics)#F4_lattice）[1][2]

性質 编辑

正十六胞體堆砌是一種由正十六胞體完全密鋪於四維空間的幾何結構，每個三角形面周圍都有3個正十六胞體，在施萊夫利符號中以   表示；每條稜周圍都有6個正十六胞體，稜圖為立方體；每個頂點都是24個正十六胞體的公共頂點，頂點圖為正二十四胞體。其對稱性為考克斯特群的 群，在考克斯特表示法（英语：Coxeter_notation）中可記為  。

頂點座標 编辑

正十六胞體堆砌是一個正堆砌體，與二維的三角形鑲嵌類似，可視為{4,3,3,4}通過交錯變換的結果，並且與四面體-八面體堆砌（英语：Tetrahedral-octahedral honeycomb）相關。

正十六胞體堆砌可以被放置在整數座標   上，其中i、j,k,l的和必須是偶數。

D4網格 编辑

正十六胞體堆砌的頂點排佈（英语：vertex arrangement）稱為D4網格或F4網格[2]。以這些頂點為幾何中心的三維超球可以構成四維空間中可能的正超球體填充中最緊密的一種排佈[3]，其牛頓數（英语：Kissing number）為24。

      =          

另一種網格，D+
4網格（又稱為D2
4網格）可以透過兩個半超立方體網格聯集構成，且與超立方體堆砌相關：

      ∪       =         =          

這種空間填充網格僅能存於偶數維度的空間。其牛頓數（英语：Kissing number）為二的三次方等於8[註 1][5]。

The D*
4網格（也稱為D4
4或C2
4）可以透過所有四個D4網格的聯集來構成，但其與D4網格相同，同時他也是2個超立方體堆砌放置在對方的對偶位置的聯集，也就是四維空間中立方晶系結構[6]。

      ∪       ∪       ∪       =       =       ∪      

D*
4網格的牛頓數（英语：Kissing number）為24[7]，其沃罗诺伊图為正二十四胞體堆砌（     ），並包含所有的截半正十六胞體（即正二十四胞體）之沃羅諾伊胞，在考克斯特記號中計為       或       [8]。

不同對稱性的結構 编辑

名稱 考克斯特群 施萊夫利符號 考克斯特記號 頂點圖
對稱性 		維面
正十六胞體堆砌   = [3,3,4,3] {3,3,4,3}                  
[3,4,3], 1152階		 24： 正十六胞體
四維堆砌   = [31,1,3,4]（英语：Template:B4 honeycombs） = h{4,3,3,4}         =                  
[3,3,4], 384階		 16+8： 正十六胞體
  = [31,1,1,1]（英语：Template:D4 honeycombs） {3,31,1,1}
= h{4,3,31,1}		       =              
[31,1,1], 192階		 8+8+8： 正十六胞體

相關多胞體與堆砌 编辑

正十六胞體堆砌是四維空間三種正堆砌體之一，其他的四維空間正堆砌體有：

图像  
超立方體堆砌 		 
正十六胞體堆砌 		 
正二十四胞體堆砌
施萊夫利符號 {4,3,3,4} {3,3,4,3} {3,4,3,3}
D5堆砌體
擴展對稱性（英语：Coxeter notation#Extended_symmetry） 擴展符號 擴展群 堆砌體
[31,1,3,31,1]                  
<[31,1,3,31,1]>
↔ [31,1,3,3,4] 		       
↔           		 ×21 =          ,        ,        ,        

       ,        ,        ,        

[[31,1,3,31,1]]          ×22        ,        
<2[31,1,3,31,1]>
↔ [4,3,3,3,4] 		       
↔             		 ×41 =          ,        ,        ,        ,        ,        
[<2[31,1,3,31,1]>]
↔ [[4,3,3,3,4]] 		       
↔             		 ×8 =  ×2        ,        ,        

參見 编辑

註釋 编辑

  1. ^ 當n<8時為2n-1；n=8時為240；n>8時為2n(n-1)

參考文獻 编辑

  1. Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
    • pp. 154–156: Partial truncation or alternation, represented by h prefix: h{4,4} = {4,4}; h{4,3,4} = {31,1,4}, h{4,3,3,4} = {3,3,4,3}, ...
  2. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  3. George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs)
  4. Klitzing, Richard. 4D Euclidean tesselations. bendwavy.org.  x3o3o4o3o - hext - O104
  1. ^ The Lattice F4. math.rwth-aachen.de. [2016-08-22]. （原始内容于2020-01-16）. 
  2. ^ 2.0 2.1 The Lattice D4. math.rwth-aachen.de. [2016-08-22]. （原始内容于2020-02-21）. 
  3. ^ O. R. Musin. The problem of the twenty-five spheres. Russ. Math. Surv. 2003, 58: 794–795. doi:10.1070/RM2003v058n04ABEH000651. 
  4. ^ Conway JH, Sloane NJH. Sphere Packings, Lattices and Groups 3rd. 1998. ISBN 0-387-98585-9. 
  5. ^ Conway（1998）[4], p. 119
  6. ^ Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, 7.4 The dual lattice D3*, p.120
  7. ^ Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, p. 120
  8. ^ Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, p. 466

十月 16, 2023
正十六胞體堆砌, 在四維空間幾何學中, 是三種四維空間正堆砌體之一, 由正十六胞體獨立堆砌而成, 每個條稜周圍都環繞著3個正十六胞體, 其頂點圖為正二十四胞體, 的對偶多胞體是正二十四胞體, 換句話說即正二十四胞體的頂點恰位於每個胞的幾何中心, 反之的頂點也位於正二十四胞體每個胞的幾何中心, 類型正四維堆砌維度4對偶多胞形正二十四胞體堆砌數學表示法考克斯特符號, 英语, coxeter, dynkin, diagram, 施萊夫利符號, 性質四維胞, 歐拉示性數0組成與佈局棱圖立方體顶点图正二十四胞體對稱性考克斯特. 在四維空間幾何學中 正十六胞體堆砌是三種四維空間正堆砌體之一 由正十六胞體獨立堆砌而成 每個條稜周圍都環繞著3個正十六胞體 其頂點圖為正二十四胞體 正十六胞體堆砌的對偶多胞體是正二十四胞體 換句話說即正二十四胞體的頂點恰位於正十六胞體堆砌每個胞的幾何中心 反之正十六胞體堆砌的頂點也位於正二十四胞體每個胞的幾何中心 正十六胞體堆砌類型正四維堆砌維度4對偶多胞形正二十四胞體堆砌數學表示法考克斯特符號 英语 Coxeter Dynkin diagram 施萊夫利符號 3 3 4 3 性質四維胞 3 3 4 胞 3 3 面 3 歐拉示性數0組成與佈局棱圖立方體顶点图正二十四胞體對稱性考克斯特群F 4 displaystyle tilde F 4 3 3 4 3 特性正查论编由於正十六胞體堆砌是一種完全密鋪完四維空間的一種幾何結構 就像是二維空間的平面三角形網格在四維空間的類比 正十六胞體堆砌的頂點排佈 英语 vertex arrangement 所形成的四維網格又稱為B 4 displaystyle mbox B 4 D4或F4網格 英语 F4 mathematics F4 lattice 1 2 目录 1 性質 1 1 頂點座標 1 2 D4網格 2 不同對稱性的結構 3 相關多胞體與堆砌 4 參見 5 註釋 6 參考文獻性質 编辑正十六胞體堆砌是一種由正十六胞體完全密鋪於四維空間的幾何結構 每個三角形面周圍都有3個正十六胞體 在施萊夫利符號中以 3 3 4 3 displaystyle left 3 3 4 3 right nbsp 表示 每條稜周圍都有6個正十六胞體 稜圖為立方體 每個頂點都是24個正十六胞體的公共頂點 頂點圖為正二十四胞體 其對稱性為考克斯特群的F 4 displaystyle tilde F 4 nbsp 群 在考克斯特表示法 英语 Coxeter notation 中可記為 3 3 4 3 displaystyle left 3 3 4 3 right nbsp 頂點座標 编辑 正十六胞體堆砌是一個正堆砌體 與二維的三角形鑲嵌類似 可視為 4 3 3 4 通過交錯變換的結果 並且與四面體 八面體堆砌 英语 Tetrahedral octahedral honeycomb 相關 正十六胞體堆砌可以被放置在整數座標 i j k l displaystyle left i j k l right nbsp 上 其中i j k l的和必須是偶數 D4網格 编辑 正十六胞體堆砌的頂點排佈 英语 vertex arrangement 稱為D4網格或F4網格 2 以這些頂點為幾何中心的三維超球可以構成四維空間中可能的正超球體填充中最緊密的一種排佈 3 其牛頓數 英语 Kissing number 為24 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 另一種網格 D 4 網格 又稱為D24 網格 可以透過兩個半超立方體網格聯集構成 且與超立方體堆砌相關 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 這種空間填充網格僅能存於偶數維度的空間 其牛頓數 英语 Kissing number 為二的三次方等於8 註 1 5 The D 4 網格 也稱為D44 或C24 可以透過所有四個D4網格的聯集來構成 但其與D4網格相同 同時他也是2個超立方體堆砌放置在對方的對偶位置的聯集 也就是四維空間中立方晶系結構 6 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp D 4 網格的牛頓數 英语 Kissing number 為24 7 其沃罗诺伊图為正二十四胞體堆砌 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 並包含所有的截半正十六胞體 即正二十四胞體 之沃羅諾伊胞 在考克斯特記號中計為 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 或 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 8 不同對稱性的結構 编辑名稱 考克斯特群 施萊夫利符號 考克斯特記號 頂點圖對稱性 維面正十六胞體堆砌 F 4 displaystyle tilde F 4 nbsp 3 3 4 3 3 3 4 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 3 4 3 1152階 24 正十六胞體四維堆砌 B 4 displaystyle tilde B 4 nbsp 31 1 3 4 英语 Template B4 honeycombs h 4 3 3 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 3 3 4 384階 16 8 正十六胞體D 4 displaystyle tilde D 4 nbsp 31 1 1 1 英语 Template D4 honeycombs 3 31 1 1 h 4 3 31 1 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 31 1 1 192階 8 8 8 正十六胞體相關多胞體與堆砌 编辑正十六胞體堆砌是四維空間三種正堆砌體之一 其他的四維空間正堆砌體有 图像 nbsp 超立方體堆砌 nbsp 正十六胞體堆砌 nbsp 正二十四胞體堆砌施萊夫利符號 4 3 3 4 3 3 4 3 3 4 3 3 D5堆砌體擴展對稱性 英语 Coxeter notation Extended symmetry 擴展符號 擴展群 堆砌體 31 1 3 31 1 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp D 5 displaystyle tilde D 5 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp lt 31 1 3 31 1 gt 31 1 3 3 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp D 5 displaystyle tilde D 5 nbsp 21 B 5 displaystyle tilde B 5 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 31 1 3 31 1 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp D 5 displaystyle tilde D 5 nbsp 22 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp lt 2 31 1 3 31 1 gt 4 3 3 3 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp D 5 displaystyle tilde D 5 nbsp 41 C 5 displaystyle tilde C 5 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp lt 2 31 1 3 31 1 gt 4 3 3 3 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp D 5 displaystyle tilde D 5 nbsp 8 C 5 displaystyle tilde C 5 nbsp 2 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 參見 编辑無限胞體 超立方體堆砌註釋 编辑 當n lt 8時為2n 1 n 8時為240 n gt 8時為2n n 1 參考文獻 编辑Coxeter H S M Regular Polytopes 3rd edition 1973 Dover edition ISBN 0 486 61480 8 pp 154 156 Partial truncation or alternation represented by h prefix h 4 4 4 4 h 4 3 4 31 1 4 h 4 3 3 4 3 3 4 3 Kaleidoscopes Selected Writings of H S M Coxeter edited by F Arthur Sherk Peter McMullen Anthony C Thompson Asia Ivic Weiss Wiley Interscience Publication 1995 ISBN 978 0 471 01003 6 1 页面存档备份 存于互联网档案馆 Paper 24 H S M Coxeter Regular and Semi Regular Polytopes III Math Zeit 200 1988 3 45 George Olshevsky Uniform Panoploid Tetracombs Manuscript 2006 Complete list of 11 convex uniform tilings 28 convex uniform honeycombs and 143 convex uniform tetracombs Klitzing Richard 4D Euclidean tesselations bendwavy org x3o3o4o3o hext O104 The Lattice F4 math rwth aachen de 2016 08 22 原始内容存档于2020 01 16 2 0 2 1 The Lattice D4 math rwth aachen de 2016 08 22 原始内容存档于2020 02 21 O R Musin The problem of the twenty five spheres Russ Math Surv 2003 58 794 795 doi 10 1070 RM2003v058n04ABEH000651 Conway JH Sloane NJH Sphere Packings Lattices and Groups 3rd 1998 ISBN 0 387 98585 9 Conway 1998 4 p 119 Conway and Sloane Sphere packings lattices and groups 7 4 The dual lattice D3 p 120 Conway and Sloane Sphere packings lattices and groups p 120 Conway and Sloane Sphere packings lattices and groups p 466 取自 https zh wikipedia org w index php title 正十六胞體堆砌 amp oldid 75109195, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

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