外代数, 此條目需要編修, 以確保文法, 用詞, 语气, 格式, 標點等使用恰当, 2018年6月16日, 請按照校對指引, 幫助编辑這個條目, 幫助, 討論, 英語, exterior, algebra, 也稱為格拉斯曼代数, grassmann, algebra, 以紀念赫爾曼, 格拉斯曼, 左圖, 由向量的有序集所定義出的定向右圖, 反定向, 對應到加上負號的外積實外代數中, 階元素的幾何詮釋, 具有正負號的點, 具有指向的線段, 即向量, 具有定向的平面元, 具有定向的體積, n個向量的外積可以圖像化為n維. 此條目需要編修 以確保文法 用詞 语气 格式 標點等使用恰当 2018年6月16日 請按照校對指引 幫助编辑這個條目 幫助 討論 外代数 英語 Exterior algebra 也稱為格拉斯曼代数 Grassmann algebra 以紀念赫爾曼 格拉斯曼 左圖 由向量的有序集所定義出的定向右圖 反定向 對應到加上負號的外積實外代數中 n 階元素的幾何詮釋 n 0 具有正負號的點 1 具有指向的線段 即向量 2 具有定向的平面元 3 具有定向的體積 n個向量的外積可以圖像化為n維幾何物體 例如n維平行六面體 n維橢球 其大小為超體積 hypervolume 其定向的定義由 n 1 維邊界以及物體內部在哪一側來決定 1 2 数学上 给定向量空间V displaystyle V 的外代數 是特定有单位的结合代数 其包含了V displaystyle V 为其中一个子空间 它记为 V displaystyle land V 或 V displaystyle land cdot V 而它的乘法 称为楔积或外积 记为 displaystyle land 楔积是结合的和雙線性的 其基本性質是它在V上交錯的 也就是 v v 0 displaystyle v wedge v 0 對於所有向量v V displaystyle v in V 这表示 u v v u displaystyle u wedge v v wedge u 對於所有向量u v V displaystyle u v in V 以及 v 1 v 2 v k 0 displaystyle v 1 wedge v 2 wedge cdots wedge v k 0 當v 1 v k V displaystyle v 1 ldots v k in V 线性相关时 注意这三个性质只对V displaystyle V 中向量成立 不是对代数 V displaystyle land V 中所有向量成立 外代数事实上是 最一般的 满足这些属性的代数 这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出 V displaystyle land V 的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示 请参看下文 形式为v 1 v 2 v k displaystyle v 1 land v 2 land ldots land v k 的元素 其中v 1 v k displaystyle v 1 ldots v k 在V displaystyle V 中 称为k displaystyle k 向量 所有k displaystyle k 向量生成的 V displaystyle land V 的子空间称为V displaystyle V 的k displaystyle k 阶外幂 记为 k V displaystyle land k V 外代数可以写作每个k displaystyle k 阶幂的直和 L V k 0 L k V displaystyle Lambda V bigoplus k 0 infty Lambda k V 该外积有一个重要性质 就是k displaystyle k 向量和I displaystyle I 向量的积是一个k I displaystyle k I 向量 这样外代数成为一个分次代数 其中分级由k displaystyle k 给出 这些k displaystyle k 向量有几何上的解释 2 向量u v displaystyle u land v 代表以u displaystyle u 和v displaystyle v 为边的带方向的平行四边形 而3 向量u v w displaystyle u land v land w 代表带方向的平行六面体 其边为u displaystyle u v displaystyle v 和w displaystyle w 外幂的主要应用在于微分几何 其中他们用来定义微分形式 因而 微分形式有一个自然的楔积 所有这些概念由格拉斯曼提出 目录 1 定义及运算律 2 基底和维数 3 例子 欧氏三维空间的外代数 4 叉乘的实质 赝向量与赝标量 5 泛性质及构造 6 反对称算子和外幂 7 指标记法 8 微分形式 9 推广 10 物理应用 11 注释 12 相关课题定义及运算律 编辑外代数有很多种等价的定义 下面的定义是最简洁的一个 定义 设 V displaystyle V 是域 K displaystyle K 上的一个向量空间 讓T k V V V k displaystyle T k V underset k underbrace V otimes cdots otimes V 則定義 T V k 0 T k V K V V V V V V displaystyle T V bigoplus k 0 infty T k V K oplus V oplus V otimes V oplus V otimes V otimes V oplus ldots dd 令 I displaystyle I 为 V displaystyle V 的张量代数的理想 即双边理想 该理想是由所有形如v v displaystyle v otimes v 的张量生成的 其中v V displaystyle v in V 任意 则将V displaystyle V 上的外代数L V displaystyle Lambda V 定义为商代数T V I displaystyle T V I 即 L V T V I displaystyle Lambda V T V I dd 并且把v 1 v k T k V displaystyle v 1 otimes ldots otimes v k in T k V 的等价类 3 v 1 v k T V I displaystyle v 1 otimes ldots otimes v k in T V I 记为v 1 v k displaystyle v 1 wedge ldots wedge v k 其中 v 1 v k V displaystyle v 1 ldots v k in V 设k 0 1 2 displaystyle k 0 1 2 ldots 称 L k V T k V I displaystyle Lambda k V T k V I dd 为V displaystyle V 的k displaystyle k 阶外幂 k displaystyle k th exterior power of V displaystyle V 称 k V displaystyle land k V 中的元素为k displaystyle k 向量 k displaystyle k multivector 注 l K displaystyle forall lambda in K 当且仅当l 0 displaystyle lambda 0 时才有l I displaystyle lambda in I 因此 可以把L 0 V K I displaystyle Lambda 0 V K I 等同于K displaystyle K 并且把 l L 0 V displaystyle lambda in Lambda 0 V 记为l displaystyle lambda 基于类似的原因 可以把L 1 V V I displaystyle Lambda 1 V V I 等同于V displaystyle V 而且把 v L 0 V displaystyle v in Lambda 0 V 记为v displaystyle v 这一点是前面所讲的能够把 v 1 v k L k V displaystyle v 1 otimes ldots otimes v k in Lambda k V 记为 v 1 v k displaystyle v 1 wedge ldots wedge v k 的特例和前提 当k gt 1 displaystyle k gt 1 时 k displaystyle k 向量并不仅限于形如v 1 v k displaystyle v 1 wedge ldots wedge v k 的元素 例如 v 1 v 2 w 1 w 2 displaystyle v 1 wedge v 2 w 1 wedge w 2 也是2 向量 其中v 1 v 2 w 1 w 2 V displaystyle v 1 v 2 w 1 w 2 in V 理想I displaystyle I 中的元素并不仅限于形如v v displaystyle v otimes v 的张量 例如 v V t T V displaystyle forall v in V forall t in T V 必定有 v v t I displaystyle v otimes v otimes t in I 和t v v I displaystyle t otimes v otimes v in I v w V displaystyle forall v w in V 由于 v w v w I displaystyle v w otimes v w in I 和v v I displaystyle v otimes v in I 以及w w I displaystyle w otimes w in I 显然有v w w v v w v w v v w w I displaystyle v otimes w w otimes v v w otimes v w v otimes v w otimes w in I 这就有一个推论 所有的二阶对称张量都在理想I displaystyle I 中 由于上面的两个结论 v w V displaystyle forall v w in V 我们有v w v v w v v w v v w I displaystyle v otimes w otimes v v otimes w otimes v v otimes w v otimes v otimes w in I 这是因为等式右边的每一项都在I displaystyle I 中 对张量t T V displaystyle t in T V 的阶数作数学归纳法 则可以证明 v V displaystyle forall v in V t T V displaystyle forall t in T V 总有v t v I displaystyle v otimes t otimes v in I 设k 2 3 displaystyle k 2 3 ldots 则 a L k V displaystyle forall alpha in Lambda k V a displaystyle alpha 作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元t T k V displaystyle t in T k V 可以把这个k displaystyle k 阶的完全反对称张量等同于a displaystyle alpha 详见后面的 反对称算子和外幂 一节 在有些文献中 k displaystyle k 向量就是以这种方式定义的 运算律 将上面的注中的内容用 displaystyle wedge 写出 则分别给出 1 l K a L V displaystyle forall lambda in K alpha in Lambda V l a a l l a displaystyle lambda wedge alpha alpha wedge lambda lambda alpha 证明如下 作为等价类 我们从a L V T V I displaystyle alpha in Lambda V T V I 中任意挑选一个代表元t displaystyle t 则t T V displaystyle t in T V 而且a t displaystyle alpha t 根据商代数的定义 l a l t l t l t l t l a displaystyle lambda wedge alpha lambda wedge t lambda otimes t lambda t lambda t lambda alpha dd 类似地 可以证明a l l a displaystyle alpha wedge lambda lambda alpha 2 根据注3 1中的内容 显然有v v 0 v V displaystyle v wedge v 0 forall v in V 3 根据注3 2中的内容 对任意v w V displaystyle v w in V 成立着 v w w v displaystyle v wedge w w wedge v dd 注 即使K displaystyle K 的特徵为2 这个公式也是对的 只不过此时有 1 1 displaystyle 1 1 而已 4 根据商代数的定义以及张量代数的性质 运算 L V L V L V displaystyle wedge Lambda V times Lambda V rightarrow Lambda V 满足结合律和分配律 a b 8 a b 8 displaystyle alpha wedge beta wedge theta alpha wedge beta wedge theta a b 8 a 8 b 8 displaystyle alpha beta wedge theta alpha wedge theta beta wedge theta a b 8 a b a 8 displaystyle alpha wedge beta theta alpha wedge beta alpha wedge theta dd 其中a b 8 L V displaystyle alpha beta theta in Lambda V 都是任意的 以前两条性质为例 其证明如下 设张量a b t T V displaystyle a b t in T V 分别是a b 8 displaystyle alpha beta theta 中的代表元 即a a displaystyle alpha a b b displaystyle beta b 8 t displaystyle theta t 则 a b 8 a b t a b t a b t a b t a b t a b t a b 8 displaystyle alpha wedge beta wedge theta a wedge b wedge t a otimes b wedge t a otimes b otimes t a otimes b otimes t a wedge b otimes t a wedge b wedge t alpha wedge beta wedge theta a b 8 a b t a b t a b t a t b t a t b t a t b t a 8 b 8 displaystyle alpha beta wedge theta a b wedge t a b wedge t a b otimes t a otimes t b otimes t a otimes t b otimes t a wedge t b wedge t alpha wedge theta beta wedge theta dd 5 根据上面的 3 和 4 用数学归纳法可以证明 a L k V b L l V displaystyle forall alpha in Lambda k V beta in Lambda l V b a 1 k l a b displaystyle beta wedge alpha 1 kl alpha wedge beta dd 证明从略 基底和维数 编辑若V displaystyle V 的维数是n displaystyle n 而 e 1 e n displaystyle left e 1 ldots e n right 是V displaystyle V 的基 则集合 e i 1 e i 2 e i k 1 i 1 lt i 2 lt lt i k n displaystyle e i 1 wedge e i 2 wedge cdots wedge e i k mid 1 leq i 1 lt i 2 lt cdots lt i k leq n 是k displaystyle k 阶外幂 k V displaystyle land k V 的一个基 理由如下 给定任何如下形式的楔积 v 1 v k displaystyle v 1 wedge cdots wedge v k 则每个向量v j displaystyle v j 可以记为基向量e i displaystyle e i 的一个线性组合 利用楔积的双线性性质 这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合 任何出现同样基向量两次的楔积为0 任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序 在交换任何两个基向量的时候变换符号 一般来讲 最后基k displaystyle k 向量前的系数可以用通过积e i displaystyle e i 来描述v j displaystyle v j 的矩阵的子式来计算 数一下基元素 我们可以看到 k V displaystyle land k V 的维数是n 取 k 特别的有 k V 0 displaystyle land k V left 0 right 对于k gt n displaystyle k gt n 外代数是一个分级代数 是如下直和 L V L 0 V L 1 V L 2 V L n V displaystyle Lambda V Lambda 0 V oplus Lambda 1 V oplus Lambda 2 V oplus cdots oplus Lambda n V 其维数等于二项式系数之和 也就是2 n displaystyle 2 n 例子 欧氏三维空间的外代数 编辑考虑空间R 3 displaystyle mathbb R 3 其基为 i j k displaystyle left i j k right 一对向量 u u 1 i u 2 j u 3 k displaystyle mathbf u u 1 mathbf i u 2 mathbf j u 3 mathbf k v v 1 i v 2 j v 3 k displaystyle mathbf v v 1 mathbf i v 2 mathbf j v 3 mathbf k 的楔积为 u v u 1 v 2 u 2 v 1 i j u 1 v 3 u 3 v 1 i k u 2 v 3 u 3 v 2 j k displaystyle mathbf u wedge mathbf v u 1 v 2 u 2 v 1 mathbf i wedge mathbf j u 1 v 3 u 3 v 1 mathbf i wedge mathbf k u 2 v 3 u 3 v 2 mathbf j wedge mathbf k 其中 i j i k j k displaystyle left i land j i land k j land k right 是三维空间 2 R 3 displaystyle land 2 left mathbb R 3 right 的基底 再加一个向量 w w 1 i w 2 j w 3 k displaystyle mathbf w w 1 mathbf i w 2 mathbf j w 3 mathbf k 这三个向量的楔积是 u v w u 1 v 2 w 3 u 2 v 3 w 1 u 3 v 1 w 2 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 u 3 v 2 w 1 i j k displaystyle mathbf u wedge mathbf v wedge mathbf w u 1 v 2 w 3 u 2 v 3 w 1 u 3 v 1 w 2 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 u 3 v 2 w 1 mathbf i wedge mathbf j wedge mathbf k 其中i j k displaystyle i land j land k 是一维空间 3 R 3 displaystyle land 3 left mathbb R 3 right 的基底 空间 1 R 3 displaystyle land 1 left mathbb R 3 right 是R 3 displaystyle mathbb R 3 而空间 0 R 3 displaystyle land 0 left mathbb R 3 right 是R displaystyle mathbb R 取所有四个子空间的直和得到一个向量空间 R 3 displaystyle land left mathbb R 3 right 这是八维向量空间 a a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 1 a 2 i a 3 j a 4 k a 5 i j a 6 i k a 7 j k a 8 i j k displaystyle mathbf a a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 1 a 2 mathbf i a 3 mathbf j a 4 mathbf k a 5 mathbf i wedge mathbf j a 6 mathbf i wedge mathbf k a 7 mathbf j wedge mathbf k a 8 mathbf i wedge mathbf j wedge mathbf k 那么 给定一对8维向量a displaystyle a 和b displaystyle b 其中a displaystyle a 如上给出 而 b b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 displaystyle mathbf b b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 a displaystyle a 和b displaystyle b 的楔积如下 用列向量表达 a b a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 b 3 a 3 b 1 a 1 b 4 a 4 b 1 a 1 b 5 a 5 b 1 a 2 b 3 a 3 b 2 a 1 b 6 a 6 b 1 a 2 b 4 a 4 b 2 a 1 b 7 a 7 b 1 a 3 b 4 a 4 b 3 a 1 b 8 a 8 b 1 a 2 b 7 a 7 b 2 a 3 b 6 a 6 b 3 a 4 b 5 a 5 b 4 displaystyle mathbf a wedge mathbf b begin pmatrix a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 b 3 a 3 b 1 a 1 b 4 a 4 b 1 a 1 b 5 a 5 b 1 a 2 b 3 a 3 b 2 a 1 b 6 a 6 b 1 a 2 b 4 a 4 b 2 a 1 b 7 a 7 b 1 a 3 b 4 a 4 b 3 a 1 b 8 a 8 b 1 a 2 b 7 a 7 b 2 a 3 b 6 a 6 b 3 a 4 b 5 a 5 b 4 end pmatrix 容易验证8维楔积以向量 1 0 0 0 0 0 0 0 displaystyle left 1 0 0 0 0 0 0 0 right 为乘法幺元 也可以验证该 R 3 displaystyle land left mathbb R 3 right 代数的楔积是结合的 也是双线性的 a b c a b c a b c L R 3 displaystyle mathbf a wedge mathbf b wedge mathbf c mathbf a wedge mathbf b wedge mathbf c qquad qquad forall mathbf a mathbf b mathbf c in Lambda mathbf R 3 所以该代数是有单位且结合的 叉乘的实质 赝向量与赝标量 编辑对三维欧几里得空间E 3 displaystyle E 3 可以建立一个线性同构ϕ L 2 E 3 E 3 displaystyle phi Lambda 2 E 3 rightarrow E 3 如下 任取E 3 displaystyle E 3 的右手的标准正交基i displaystyle boldsymbol i j displaystyle boldsymbol j k displaystyle boldsymbol k 规定ϕ displaystyle phi 把i j displaystyle boldsymbol i wedge mathbf j j k displaystyle boldsymbol j wedge boldsymbol k k i displaystyle boldsymbol k wedge boldsymbol i 分别映射为k displaystyle boldsymbol k i displaystyle boldsymbol i j displaystyle boldsymbol j 则ϕ displaystyle phi 的定义与右手的标准正交基如何选取无关 不难看出 对任意向量u displaystyle boldsymbol u 和v displaystyle boldsymbol v 这个线性同构把u v displaystyle boldsymbol u wedge boldsymbol v 映射为u v displaystyle boldsymbol u times boldsymbol v 这就是叉乘 向量积 的实质 例如 E 3 displaystyle E 3 中平行四边形A B C D displaystyle ABCD 的面积向量可以表示为A B A D displaystyle overrightarrow AB times overrightarrow AD 推广之后 高维黎曼流形 M g displaystyle M mathbf g 中的紧的二维曲面S displaystyle Sigma 的面积用 S h d u 1 d u 2 h h 11 h 12 h 21 h 22 displaystyle int Sigma sqrt h du 1 wedge du 2 qquad h left begin array cc h 11 amp h 12 h 21 amp h 22 end array right 来计算 其中h a b displaystyle h ab 是度规张量场g displaystyle mathbf g 在S displaystyle Sigma 上的诱导度规 h h a b d u a d u b displaystyle mathbf h h ab du a otimes du b 的坐标分量 由此可以看到外积和叉乘的渊源关系 物理学中经常要区分的向量 极向量 与赝向量 轴向量 这两个概念 现在就容易理解了 从根本上说 向量是E 3 displaystyle E 3 中的元素 所以在空间反演变换下不会改变方向 而赝向量其实是L 2 E 3 displaystyle Lambda 2 E 3 中的元素 故在空间反演变换下会改变方向 类似地 借助于右手的标准正交基 可以把L 3 E 3 displaystyle Lambda 3 E 3 中的元素a i j k displaystyle a boldsymbol i wedge boldsymbol j wedge boldsymbol k 映射为 标量 a R L 0 E 3 displaystyle a in mathbb R Lambda 0 E 3 但是 在空间反演变换下它就会原形毕露 所以称它为赝标量 真正的标量在空间反演下是不变的 而赝标量在空间反演下会改变符号 把 2 向量u v displaystyle boldsymbol u wedge boldsymbol v 映射为向量u v displaystyle boldsymbol u times boldsymbol v 以及把 3 向量a i j k displaystyle a boldsymbol i wedge boldsymbol j wedge boldsymbol k 映射为一个实数a displaystyle a 的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射 泛性质及构造 编辑令V displaystyle V 为一个域K displaystyle K 在多数应用中 也就是实数域 上的向量空间 V displaystyle land V 是 最一般 的包含V displaystyle V 的并有一个交替乘法在V displaystyle V 上由单位的结合K displaystyle K 代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达 任给一个有单位的结合 K displaystyle K 代数A displaystyle A 和一个K displaystyle K 线性映射j V A displaystyle j V rightarrow A 使得j v j v 0 displaystyle j v j v 0 对于每个v displaystyle v 属于V displaystyle V 成立 则存在恰好一个由单位的代数同态f V A displaystyle f land V rightarrow A 使得f v j v displaystyle f v j v 所有v displaystyle v 属于V displaystyle V 成立 要构造最一般的包含V displaystyle V 的代数 而且其乘法是在V displaystyle V 上交替的 很自然可以从包含V displaystyle V 的最一般的代数开始 也就是张量代数T V displaystyle T V 然后通过合适的商来强制交替的性质 这样我们取T V displaystyle T V 中由所有形为v v displaystyle v otimes v 的元素生成的双边理想I displaystyle I 其中v displaystyle v 属于V displaystyle V 并定义 V displaystyle land V 为商 V T V I displaystyle land V T V I 并且使用 displaystyle land 为 V displaystyle land V 中的乘法的代号 然后可以直接证明 V displaystyle land V 包含V displaystyle V 并且满足上述泛性质 如果不是先定义 V displaystyle land V 然后把外幂 k V displaystyle land k V 等同为特定的子空间 我们也可以先定义空间 k V displaystyle land k V 然后把它们合并成为一个代数 V displaystyle land V 这个方法在微分集合中常常用到 并在下节中有描述 反对称算子和外幂 编辑给定两个向量空间V displaystyle V 和X displaystyle X 一个从V k displaystyle V k 到X displaystyle X 的反对称算子是一个多线性映射 f V k X displaystyle f V k rightarrow X 使得只要v 1 v k displaystyle v 1 ldots v k 是V displaystyle V 中线性相关的向量 则 f v 1 v k 0 displaystyle f left v 1 ldots v k right 0 最著名的例子是行列式值 从 K n n displaystyle K n n 到K displaystyle K 的反对称线形算子 映射 w V k k V displaystyle w V k rightarrow land k V 它关联V displaystyle V 中的k displaystyle k 个向量到他们的楔积 也就是它们相应的k displaystyle k 向量 这也是反对称的 事实上 这个映射是定义在V k displaystyle V k 上的 最一般 的反对称算子 给定任何其它反对称算子f V k X displaystyle f V k rightarrow X 存在一个唯一的线性映射f k V X w i t h f f w displaystyle varphi land k V rightarrow X mathrm with f varphi circ w 这个泛性质表述了空间 k V displaystyle land k V 并且可以作为它的定义 所有从V k displaystyle V k 到基域K displaystyle K 的反对称映射组成一个向量空间 因为两个这样的映射的和 或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的 若V displaystyle V 是有限维的 维数n displaystyle n 则该空间可以认同为 k V displaystyle land k V 其中V displaystyle V 表示V displaystyle V 的对偶空间 特别的有 从V k displaystyle V k 到K displaystyle K 的反对称映射的空间是n displaystyle n 取k displaystyle k 维的 在这个等同关系下 若基域是R displaystyle R 或者C displaystyle C 楔积有一个具体的形式 它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射 设w V k K displaystyle omega V k rightarrow K 和h V m K displaystyle eta V m rightarrow K 为两个反对称映射 和在多线性映射的张量积的情况一样 楔积的变量数是每个映射的变量数之和 它定义如下 w h k m k m A l t w h displaystyle omega wedge eta frac k m k m rm Alt omega otimes eta 其中多线性映射的交替A l t displaystyle mathrm Alt 定义为其变量的所有排列的带符号平均 A l t w x 1 x k 1 k s S k s g n s w x s 1 x s k displaystyle rm Alt omega x 1 ldots x k frac 1 k sum sigma in S k rm sgn sigma omega x sigma 1 ldots x sigma k 注意 有一些书中楔积定义为 w h A l t w h displaystyle omega wedge eta rm Alt omega otimes eta 指标记法 编辑在主要由物理学家使用的指标记法中 w h a 1 a k m 1 k m ϵ a 1 a k m b 1 b k c 1 c m w b 1 b k h c 1 c m displaystyle omega wedge eta a 1 cdots a k m frac 1 k m epsilon a 1 cdots a k m b 1 cdots b k c 1 cdots c m omega b 1 cdots b k eta c 1 cdots c m 微分形式 编辑令M displaystyle M 为一个微分流形 一个微分k 形式w displaystyle omega 是 k T M displaystyle land k T M M displaystyle M 的余切丛的k displaystyle k 阶外幂 的一个截面 等价的有 w displaystyle omega 是M displaystyle M 的光滑函数 对于M displaystyle M 的每个点x displaystyle x 给定一个 k T x M displaystyle land k left T x M right 的元素 大致来讲 微分形式是余切向量的全局版本 微分形式是微分几何的重要工具 其中 它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大 斯潘尼尔上同调 推广 编辑给定一个交换环R displaystyle R 和一个R displaystyle R 模M displaystyle M 我们可以定义和上文一样的外代数 M displaystyle land M 它是张量代数T M displaystyle T M 适当的商 它会满足类似的泛性质 物理应用 编辑格拉斯曼代数在物理中有重要应用 它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念 参看 超空间 超代数 超群注释 编辑 R Penrose The Road to Reality Vintage books 2007 ISBN 0 679 77631 1 J A Wheeler C Misner K S Thorne Gravitation W H Freeman amp Co 1973 83 ISBN 0 7167 0344 0 由下述等价关系 displaystyle sim 所形成的等价类 u v T V u v u v I displaystyle forall u v in T V u sim v Leftrightarrow u v in I dd 相关课题 编辑多线性代数 张量代数 对称代数 克利福德代数 取自 https zh wikipedia org w index php title 外代数 amp oldid 68117345, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,