Lawrence C. Washington. Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Second Edition (Discrete Mathematics and Its Applications). Chapman and Hall/CRC. 2008. ISBN 978-1-420-07146-7.
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行進 30, 2023
弗罗贝尼乌斯自同态, 在数学中, 特别交换代数和域理论中, frobenius, 简称弗罗贝尼乌斯, 是特征为素数p, 的交换环中的一个特殊的自同态, 这个自同态以德国数学家费迪南德, 格奥尔格, 弗罗贝尼乌斯命名, 将环中的每个元素射到它的p, 次乘幂, displaystyle, mapsto, 在一般情况下, 弗罗贝尼乌斯并不总是自同构, 目录, 定义, 弗罗贝尼乌斯的不动点, 有限域的弗罗贝尼乌斯, 参考资料定义, 编辑设r, 是一个交换环, 特征是素数p, 定义环上的f, displaystyle, ma. 在数学中 特别交换代数和域理论中 弗罗贝尼乌斯自同态 Frobenius 简称弗罗贝尼乌斯 是特征为素数p 的交换环中的一个特殊的自同态 这个自同态以德国数学家费迪南德 格奥尔格 弗罗贝尼乌斯命名 弗罗贝尼乌斯自同态将环中的每个元素射到它的p 次乘幂 x x p displaystyle x mapsto x p 在一般情况下 弗罗贝尼乌斯并不总是自同构 目录 1 定义 2 弗罗贝尼乌斯的不动点 3 有限域的弗罗贝尼乌斯 4 参考资料定义 编辑设R 是一个交换环 特征是素数p 定义环上的弗罗贝尼乌斯自同态F 为 F x x p displaystyle F x mapsto x p 这是一个自同态 因为首先对于乘法 它必然服从 F x y x y p x p y p F x F y displaystyle F xy xy p x p y p F x F y 并且F 1 也显然是1 然而同时 对于加法 也有 F x y F x F y displaystyle F x y F x F y 这是因为F x y x y p displaystyle F x y x y p 而其中除了x p displaystyle x p 和y p displaystyle y p 两项之外 其余的每一项都是p的倍数 事实上 其余的每一项都是 p k x k y p k displaystyle binom p k x k y p k 也就是p k p k x k y p k displaystyle frac p k p k x k y p k 的形式 其中k 是一个介于1和p 1 之间的整数 这样 分母k p k displaystyle k p k 无法被p 整除 而分子可以被p 整除 于是 整体来说是p 的倍数 因此 由于环的特征是p 这一项实际是0 从而 F x y x y p x p y p k 1 p 1 p k x k y p k displaystyle F x y x y p x p y p sum k 1 p 1 binom p k x k y p k x p y p F x F y displaystyle x p y p F x F y 综上 弗罗贝尼乌斯自同态是满足自同态的定义的 一般来说 弗罗贝尼乌斯自同态F 不是自同构 也就是说它不是一个一一映射 举例来说 令K为域Fp t 也就是在p 阶有限域Fp 中加入一个新的超越元素t 扩展得到的扩域 显然 由于t 是超越元 它不可能在F 的像集里面 否则t 就会是一个Fp 多项式的根 而不是超越元素 也就是说 F 不是自同构 弗罗贝尼乌斯的不动点 编辑设R 为一个特征是p 的整环 这里弗罗贝尼乌斯F 的不动点是所有使得方程 xp x 成立的元素 也就是多项式xp x 根据费马小定理 这个多项式的全部根是0 1 2 p 1 因此 弗罗贝尼乌斯的不动点是R 中的素域 有限域的弗罗贝尼乌斯 编辑令 Fq 为一个阶数等于q 的有限域 其中的q pd p 是域的特征 弗罗贝尼乌斯将域中的 Fp 部分之中的元素映射到自身 可以证明 F 生成了域扩张F p F q displaystyle F p subset F q 的伽罗瓦群 参考资料 编辑Lawrence C Washington Elliptic Curves Number Theory and Cryptography Second Edition Discrete Mathematics and Its Applications Chapman and Hall CRC 2008 ISBN 978 1 420 07146 7 取自 https zh wikipedia org w index php title 弗罗贝尼乌斯自同态 amp oldid 68715149, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,