双体模型

在统计力学和图论中，双体模型（dimer model）是二维空间密鋪的模型，也称为骨牌密鋪（Domino tiling，多米诺密鋪）或随机密铺模型（random tiling model）。这也是平方格子的完美匹配。^[1][2][3][4]

8x8平方骨牌密鋪

介绍

若有 ${\displaystyle m\times n}$  平方格子G、以及${\displaystyle mn/2}$  把骨牌，覆盖数量或密铺数量是^[5][6][1]

${\displaystyle Z={\sqrt {|\det K|}}=\prod _{j=1}^{\lceil {\frac {m}{2}}\rceil }\prod _{k=1}^{\lceil {\frac {n}{2}}\rceil }\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi j}{m+1}}+4\cos ^{2}{\frac {\pi k}{n+1}}\right).}$ 

K是G的邻接矩阵。 Z也是统计力学的配分函数。^[7]

例如：

• ${\displaystyle 2\times n}$  格子：${\displaystyle Z_{n}}$ 是斐波那契数列 ^[8]
• ${\displaystyle m=n=2k=0,2,4,\ldots }$ ，可以使用普法夫值计算Z ^[9]

若G是环面，则

${\displaystyle \lim _{m,n\to \infty }Z(m,n)/(mn)=C/\pi }$ 。

其中Z依赖同调、C是卡塔兰常数。^[7]

 

疊蓆密鋪

阿兹特克钻石与北极圈现象

Z也依赖格子的边界（参看阿兹特克钻石（英语：Aztec diamond））。

•  

  阿茲特克钻石（Aztec diamond（英语：Aztec diamond））密鋪，有1024个密鋪

•  

  一个可能的密鋪

阿兹特克钻石表示所谓的「北极圈的现象」（Arctic circle phenomena），即边界看起来很同质（冰冻地区），但是中间的“北极圈”不同质（非冰冻地区）。可以使用高度函数解释这个现象。^[7][4]

这些文章有更多阿兹特克图：^[7][3][4]

http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）

高度函数

一个密铺定义一个0微分形式（函数）：

${\displaystyle s(v)=\pm 1}$ 

s是自旋（参看易辛模型）、v是顶点。那么可以定义一个1-形式：

${\displaystyle ds(e=uv)=s(u)-s(v)=\pm 2}$ 

这个形式是闭形式。注意上面的形式不等于0因为G是二分图。也定义密铺函数

${\displaystyle \delta (e)=0,1}$ 

若双体e存在，${\displaystyle \delta (e)=1}$ ，不然等于0。高度差函数是^[7]

${\displaystyle dh(e)=h(u)-h(v)=(1+\delta (e))ds(e)=\pm 3}$ 

这个函数定义一个${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z} }$ 的随机函数。这也是闭形式。的确威廉·瑟斯顿表示了若${\displaystyle \delta (e)}$ 真的是密铺函数，这是一个必要条件。h是高度函数。

NxN平方格子的高度函数在中间逼近O(N)。但是阿兹特克钻石的高度函数逼近h的平均值。^[7]的确，CKP定理^[7]说h最小化一个熵（或热力学自由能）的泛函（变分法）：

${\displaystyle F=\log Z}$ 

共形场论

主条目：共形场论

高斯自由场

双体模型的缩放极限（即高度函数的缩放极限是高斯自由场）^[7]，高斯自由场是一种二维布朗运动。所以${\displaystyle h(x)\to \phi (x)}$ 成为二维纯量场。

若G是一定的加权图，^[7]K的缩放极限是反全纯导数 ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ 。^[1] 若

${\displaystyle Kf=f(w+1)-f(w-1)+if(w+i)-if(w-i)=0}$ 

f是“反全纯函数”。再说 f 是调和函数（和谐函数）。这是因为${\displaystyle KK^{*}=L}$ 是调和矩阵（harmonic matrix）。^[7]

非冰冻地区描述一个极限形（limit shape），比如这张文章描述一个心脏线：^[1]（跟代数几何有关）。高斯自由场也许描述这些极限形。2020年这还是未解决的问题。

数学家知道极限形满足一个类似伯格斯方程（${\displaystyle \phi _{x}-\phi \phi _{y}=0}$ ）的椭圆型偏微分方程。这些极限形可以相似极小曲面的魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化。^[1]

传播子

邻接矩阵的反函数${\displaystyle K^{-1}(x,y)}$ 是一种格林函数。

${\displaystyle D(x,y)=\langle h(x)h(y)\rangle }$ 

是传播子（量子场论）。^[7] 可以表示这等于狄利克雷问题的核子

${\displaystyle D(u,v)=-{\frac {1}{2\pi }}\log(v-u)}$ 

${\displaystyle d_{u}D(u,v)={\frac {1}{2\pi }}({\frac {du}{v-u}}-{\frac {d{\bar {u}}}{v-{\bar {u}}}})}$ 

由于维克定理，^[7]

${\displaystyle \langle h(x_{1})\ldots h(x_{2k})\rangle \propto \sum _{\text{对 }}D(x_{i_{1}}x_{i_{2}})\ldots D(x_{i_{2k-1}}x_{i_{2k}})}$ 

相关条目

其他骨牌模型

• 双体，双体模型描述有些很简单的化学和物理学的系统
• 疊蓆，日本式的骨牌密铺
• 肢解國際象棋盤問題
• 王氏砖
• 量子双体模型（英语：Quantum_dimer_models）
• 平面图

量子场论

• 高斯自由场
• 玻茨模型
• 渗流理论
• 相变^[1]、临界现象
• Fisher格子：参看韩文版图（https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%A9%EC%B2%B4_%EB%AA%A8%ED%98%95）^[3]

参考文献

1. Richard Kenyon and Andrei Okounkov. What is a dimer? (PDF). （原始内容 (PDF)于2020-07-30）. 
2. Baake, Michael.; Moody, R. V., 1941-. Directions in mathematical quasicrystals. Providence, R.I.: American Mathematical Society https://www.worldcat.org/oclc/45248226. 2000. ISBN 0-8218-2629-8. OCLC 45248226.  缺少或|title=为空 (帮助)
3. Richard Kenyon. (PDF). （原始内容 (PDF)存档于2013-01-27） （英语）. 
4. Introduction to Random Tilings. faculty.uml.edu. [2020-02-14]. （原始内容于2015-07-06）. 
5. Temperley, H. N. V.; Fisher, Michael E. Dimer problem in statistical mechanics-an exact result. Philosophical Magazine. 1961-08, 6 (68): 1061–1063 [2020-02-13]. ISSN 0031-8086. doi:10.1080/14786436108243366. （原始内容于2022-01-21） （英语）. 
6. Kasteleyn, P.W. The statistics of dimers on a lattice. Physica. 1961-12, 27 (12): 1209–1225 [2020-02-13]. doi:10.1016/0031-8914(61)90063-5. （原始内容于2020-02-13） （英语）. 
7. Kenyon, Richard. An introduction to the dimer model. 2003-10-20 [2020-02-14]. （原始内容于2020-02-14） （英语）. 
8. A000045 - OEIS. oeis.org. [2020-02-13]. （原始内容于2016-06-16）. 
9. A004003 - OEIS. oeis.org. [2020-02-13]. （原始内容于2019-12-31）. 

阅读

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• Olivier Bodini, Matthieu Latapy. Generalized Tilings with Height Functions // Morfismos. — 2003. — Т. 7, вып. 1. — С. 47–68. — ISSN 1870-6525.
• F. Faase. On the number of specific spanning subgraphs of the graphs G X P_n // Ars Combin.. — 1998. — Т. 49. — С. 129–154.
• J. L. Hock, R. B. McQuistan. A note on the occupational degeneracy for dimers on a saturated two-dimenisonal lattice space // Discrete Appl. Math.. — 1984. — Т. 8. — С. 101–104. — DOI:10.1016/0166-218X(84)90083-0.
• P. W. Kasteleyn. The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice // Physica. — 1961. — Т. 27, вып. 12. — С. 1209–1225. — DOI:10.1016/0031-8914(61)90063-5. —Bibcode: 1961Phy....27.1209K..
• Richard Kenyon. Directions in mathematical quasicrystals / Michael Baake, Robert V. Moody. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2000. — Т. 13. — С. 307–328. — ISBN 0-8218-2629-8.
• Richard Kenyon, Andrei Okounkov. What is … a dimer? // Notices of the American Mathematical Society. — 2005. — Т. 52, вып. 3. — P. 342–343. — ISSN 0002-9920..
• David Klarner, Jordan Pollack. Domino tilings of rectangles with fixed width // Discrete Mathematics. — 1980. — Т. 32, вып. 1. — DOI:10.1016/0012-365X(80)90098-9..
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• Frank Ruskey, Jennifer Woodcock. Counting fixed-height Tatami tilings. — 2009. — Т. 16, вып. 1. — С. R126.
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• W. P. Thurston.（威廉·瑟斯顿）Conway's tiling groups. — American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1990. — Т. 97. — С. 757–773. — DOI:10.2307/2324578..
• David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — London: Penguin, 1997. — С. 182. — ISBN 0-14-026149-4..
• H. N. V. Temperley, Michael E. Fisher. Dimer problem in statistical mechanics-an exact result // Philosophical Magazine. — 1961. — Т. 6, вып. 68. — С. 1061–1063. — DOI:10.1080/14786436108243366.
• Erickson, Alejandro; Ruskey, Frank (2013), "Domino tatami covering is NP-complete", Combinatorial algorithms, Lecture Notes in Comput. Sci., 8288, Springer, Heidelberg, pp. 140–149, arXiv:1305.6669, doi:10.1007/978-3-642-45278-9_13, MR 3162068