乒乓引理

群論中，乒乓引理（ping-pong lemma）給出了一個充分條件，保證一個群中數個子群所生成的群是這些子群的自由積。

歷史

使用乒乓引理的論證法可以追溯至19世紀後期，通常認為是菲利克斯·克萊因最先使用^[1]，他研究克萊因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中^[2]，證明著名的蒂茨兩擇性（Tits alternative）結果，一個主要工具就是乒乓引理。這結果指出任何有限生成的線性群，或是一個逼肖可解群（virtually solvable group），或是包含一個秩2的自由子群。乒乓引理及其引申結果廣泛應用於幾何拓撲學及幾何群論。

定理敍述

設G為群，作用在集合X上，H₁和H₂是G的非平凡子群，H是H₁和H₂生成的群。若X有兩個不交非空子集X₁和X₂，使得

• 對所有${\displaystyle 1\neq a\in H_{1}}$ ，都有${\displaystyle a(X_{2})\subset X_{1}}$ 
• 對所有${\displaystyle 1\neq b\in H_{2}}$ ，都有${\displaystyle b(X_{1})\subset X_{2}}$ 

則H是H₁和H₂的自由積，即${\displaystyle H=H_{1}*H_{2}}$ ，或者${\displaystyle \left|H_{1}\right|=\left|H_{2}\right|=2}$ ，而H是二面體群。

證明

設w是用H₁和H₂的元素寫出的非空簡約字。若${\displaystyle w=a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots a_{k}}$ ，其中${\displaystyle a_{i}\in H_{1}\setminus \{1\}}$ ，${\displaystyle b_{i}\in H_{2}\setminus \{1\}}$ ，則

${\displaystyle {\begin{aligned}w(X_{2})&=a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}a_{k}(X_{2})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}(X_{1})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}(X_{2})\\&\subset \cdots \subset X_{1}\end{aligned}}}$ 

故${\displaystyle w\neq 1}$ 。同上得${\displaystyle w=b_{1}a_{2}b_{2}a_{3}\cdots b_{k}\neq 1}$ 。

若H₁和H₂的階不都等於2，不失一般性，假設${\displaystyle \left|H_{1}\right|>2}$ 。若${\displaystyle w=a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots b_{k}}$ ，取${\displaystyle a\in H_{1}\setminus \{1,a_{1}^{-1}\}}$ ，則${\displaystyle 1\neq aa_{1}\in H_{1}}$ ，故由上可知

${\displaystyle awa^{-1}=aa_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots b_{k}a^{-1}\neq 1}$ ，

得${\displaystyle w\neq 1}$ 。若${\displaystyle w=b_{1}a_{2}b_{2}\cdots a_{k}}$ ，取${\displaystyle a\in H_{1}\setminus \{1,a_{k}\}}$ ，則${\displaystyle 1\neq a_{k}a^{-1}\in H_{1}}$ ，同上可得${\displaystyle awa^{-1}\neq 1}$ ，故${\displaystyle w\neq 1}$ 。因此得出${\displaystyle H=H_{1}*H_{2}}$ 。

若${\displaystyle \left|H_{1}\right|=\left|H_{2}\right|=2}$ ，令${\displaystyle H_{1}=\{1,a\}}$ ，${\displaystyle H_{2}=\{1,b\}}$ 。從上可知若有以a, b寫出的非空簡約字w等於1，則w只可能是${\displaystyle ab\cdots ab}$ 或${\displaystyle ba\cdots ba}$ ，故對某些數n > 0有${\displaystyle (ab)^{n}=1}$ 。取其最小者的值為n，則H為二面體群${\displaystyle D_{2n}}$ 。若無如此簡約字w，則${\displaystyle H=H_{1}*H_{2}}$ 。

推廣

乒乓引理可以推廣至數個子群的情形：

設G為群，作用在集合X上。又設H₁, H₂, ... , H_k是G的非平凡子群，且當中至少一個的階不小於3。若X有兩兩不交的非空子集X₁, X₂, ... , X_k，使得當${\displaystyle i\neq j}$ 時，對所有${\displaystyle 1\neq a\in H_{i}}$ ，都有${\displaystyle a(X_{j})\subset X_{i}}$ 。則H₁, H₂, ... , H_k所生成的群是其自由積，即

${\displaystyle \langle H_{1},\cdots ,H_{k}\rangle =H_{1}*H_{2}*\cdots *H_{k}}$ 。

這條定理的證明與兩個子群時的證明類似。

應用例子

特殊線性群

矩陣${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}}$ 和${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}}$ 在特殊線性群${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$ 中生成的子群是秩2的自由群。

證明

群${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$ 以線性變換作用在平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 上。 設這兩個矩陣各自生成子群

${\displaystyle H_{1}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}}$ 

${\displaystyle H_{2}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}}$ 

又設平面的兩個不交子集為

${\displaystyle X_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}}$ 

${\displaystyle X_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}}$ 

H₁, H₂都同構於無限循環群。因為H₁, H₂, X₁, X₂適合乒乓引理的條件，由乒乓引理得出H₁, H₂生成的群為其自由積，而兩個無限循環群的自由積為秩2的自由群。

參考

• Lyndon, Roger; Schupp, Paul. Combinatorial Group Theory. Classics in Mathematics. Germany: Springer-Verlag. 2001: 167 [1977]. ISBN 3-540-41158-5.  引文使用过时参数coauthors (帮助)

1. La Harpe, Pierre de. Topics in Geometric Group Theory. Chicago: The University of Chicago Press. 2000. ISBN 0-226-31721-8. 
2. J. Tits. Free subgroups in linear groups.^{[永久失效連結]} Journal of Algebra, vol. 20 (1972), pp. 250–270