子集

子集（subset）亦稱部分集合，為某集合中一部分的集合；關係相反時則稱作父集、母集、超集。子集與父集关系上以“包含”稱呼。

A是B的子集，B是A的超集。

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意 a∈A，则 a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为 ${\displaystyle A\subseteq B}$ 或 ${\displaystyle B\supseteq A}$，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。

即：${\displaystyle \forall a\in A}$，有 ${\displaystyle a\in B}$，则 ${\displaystyle A\subset B}$。

若${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$为集合，且 ${\displaystyle A}$ 的所有元素都是 ${\displaystyle B}$ 的元素，则可表示為：

• ${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的子集（或称 ${\displaystyle A}$ 包含于 ${\displaystyle B}$）；${\displaystyle A\subseteq B}$
• ${\displaystyle B}$是${\displaystyle A}$的父集／超集（或称 ${\displaystyle B}$ 包含 ${\displaystyle A}$）；${\displaystyle B\supseteq A}$

任何集合${\displaystyle B}$皆是本身的子集（${\displaystyle B\subseteq B}$）。而${\displaystyle B}$的子集中不等于 ${\displaystyle B}$ 的集合，称为真子集，若 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle B}$ 的真子集，写作 ${\displaystyle A\subsetneqq B}$。

定义

假设有 ${\displaystyle A}$  和 ${\displaystyle B}$  两个集合，如果 ${\displaystyle A}$  中的每个元素都是${\displaystyle B}$ 的元素，则：

• ${\displaystyle A}$  是 ${\displaystyle B}$  的子集，记作 ${\displaystyle A\subseteq B}$ 

也可以说

• ${\displaystyle B}$  是 ${\displaystyle A}$  的超集，记作 ${\displaystyle B\supseteq A}$ 

如果 ${\displaystyle A}$  是 ${\displaystyle B}$  的子集，但 ${\displaystyle A}$  不等于 ${\displaystyle B}$ （即 ${\displaystyle B}$  中至少存在一个元素不在 ${\displaystyle A}$  集合中），则：

• ${\displaystyle A}$  是 ${\displaystyle B}$  的真子集，记作 ${\displaystyle A\subsetneqq B}$ 

也可以说

• ${\displaystyle B}$  是 ${\displaystyle A}$  的真超集，记作 ${\displaystyle B\supsetneqq A}$ 

符号

ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配：^[1]

• ${\displaystyle \subseteq }$ 表示子集关系，${\displaystyle \subset }$ 表示真子集关系。使用的作品如^[2][3][4]
• ${\displaystyle \subset }$ 表示子集关系，${\displaystyle \subsetneqq }$ 表示真子集关系。使用的作品如^[5]:p.6

举例

• 集合 ${\displaystyle \left\{1,2\right\}}$  是集合 ${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$  的真子集。
• 自然数集合是有理数集合的真子集。
• 集合 ${\displaystyle \{x:x}$ 是大于2000的素数${\displaystyle \}}$  是集合 ${\displaystyle \{x:x}$ 是大于1000的奇数${\displaystyle \}}$  的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，写作 ${\displaystyle \varnothing }$ ，是任意集合 ${\displaystyle X}$  的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。

性质

命题1：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题2：若 ${\displaystyle A,B,C}$  是集合，则：

自反性：

• ${\displaystyle A\subseteq A}$ 

反对称性：

• ${\displaystyle A\subseteq B}$ 且${\displaystyle B\subseteq A}$ 当且仅当${\displaystyle A=B}$ 

传递性：

• 若${\displaystyle A\subseteq B}$ 且${\displaystyle B\subseteq C}$ 则${\displaystyle A\subseteq C}$ 

这个命题说明：对任意集合 ${\displaystyle S}$ ，${\displaystyle S}$  的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题3：若 ${\displaystyle A,B,C}$  是集合 ${\displaystyle S}$  的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：

• ${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$ （ ${\displaystyle \varnothing \subseteq A}$ 由命題1給出）

存在并运算：

• ${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$ 
• 若${\displaystyle A\subseteq C}$ 且${\displaystyle B\subseteq C}$ 则${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$ 

存在交运算：

• ${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$ 
• 若 ${\displaystyle C\subseteq A}$  且 ${\displaystyle C\subseteq B}$  则 ${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$ 

命题4:对任意两个集合 ${\displaystyle A}$  和 ${\displaystyle B}$ ，下列表述等价：

• ${\displaystyle A\subseteq B}$ 
• ${\displaystyle A\cap B=A}$ 
• ${\displaystyle A\cup B=B}$ 
• ${\displaystyle A-B=\varnothing }$ 
• ${\displaystyle B\subseteq A'}$ 

这个命题说明：表述"${\displaystyle A\subseteq B}$ "，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

參考文獻

1. ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics. ISO. 2019-08 [2023-7-24]. （原始内容于2023-03-13） （英语）.  请检查|access-date=中的日期值 (帮助)
2. , [2012-09-07], （原始内容存档于2012-07-03） 
3. 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14], （原始内容 (PDF)于2016-03-04） 
4. (PDF), [2012-09-07], （原始内容 (PDF)存档于2013-01-23） 
5. Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157 

参见

• 冪集：某集合的全部子集组成的集合。