陈类

数学上，特别是在代数拓扑和微分几何中，陈类（英語：Chern class，或稱陳氏類）是一类复向量叢的示性类，类比于斯蒂弗尔-惠特尼类（英语：Stiefel-Whitney class）作为实向量叢的示性类（英语：Characteristic class）。

陈类因陈省身而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。

定义

给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E,E的陈类是一系列X的上同调的元素。E的第k个陈类通常记为c_k(E),是X的整数系数的上同调群H^2k(X;Z)中的一个元素，并且满足如下公理:

公理1. 对于任何${\displaystyle E,\ c_{0}(E)=1\in H^{0}(X;\mathbb {Z} )}$ 

公理2. 自然性：如果${\displaystyle E\to X}$ 是一个复向量丛，${\displaystyle f:Y\to X}$ 是一个连续映射，${\displaystyle f^{*}E\to Y}$ 是拉回的向量丛，那么对任意k，${\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}(c_{k}(E))\in H^{2k}(Y;{\mathbb {Z} })}$ 

公理3. 惠特尼求和公式：如果${\displaystyle E_{1},E_{2}\to X}$ 是两个复向量丛，那么它们的直和${\displaystyle E_{1}\oplus E_{2}}$ 的陈类是

${\displaystyle c_{k}(E_{1}\oplus E_{2})=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E_{1})\cup c_{k-i}(E_{2})}$ 

公理4. 如果${\displaystyle H\to {\mathbb {P} }^{1}}$ 是复射影直线上的超平面丛，那么${\displaystyle c_{1}(H)}$ 的庞加莱对偶是${\displaystyle 1\in H_{0}({\mathbb {P} }^{1};{\mathbb {Z} })}$ 

陈数

任何陈类的积分是一个整数，叫陈数，有时候给卷绕数。

在物理学中，陈数有很多应用。例如第一陈数

${\displaystyle \phi =\int c_{1}}$ 

${\displaystyle e^{i\phi /\hbar }}$ 

描述阿哈罗诺夫－玻姆效应。第二陈数描述一种流形边界的陈-西蒙斯理论：

${\displaystyle \int _{M}c_{2}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{M}dCS_{3}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{\partial M}CS_{3}}$ 

在物理学中，这有时候被叫做theta term，描述Witten效应、瞬子（第三同倫类）、軸子、Dyon（英语：Dyon）、等。

${\displaystyle S(A)=YM+\theta \int _{M}c_{2}}$ 

其中的YM是杨-米尔斯的作用量。

陈-西蒙斯理论

陈-西蒙斯形式跟陈类有关：

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{k!}}({\frac {i}{2\pi }})^{k}tr(F^{k})={\frac {1}{k!}}({\frac {i}{2\pi }})^{k}dCS_{2k+1}}$ 

陈示性

若F是曲率形式，陈示性是

${\displaystyle ch(V)=[tr(\exp(iF/(2\pi ))]}$ 

而且

${\displaystyle ch(V\oplus W)=ch(V)+ch(W)}$ 

${\displaystyle ch(V\otimes W)=ch(V)\ ch(W)}$ 

比方说，若V是U(1)主丛（阿贝尔规范）

${\displaystyle ch(V)=\exp(c_{1}(V))}$ 

等价定义

同时，有很多处理这个定义的办法：陈省身最初使用了微分几何；在代数拓扑中，陈类是通过同伦理论定义的，该理论提供了把E和一个分类空间（在这个情况下是格拉斯曼流形联系起来的映射）；还有亚历山大·格罗滕迪克的一种办法，表明公理上只需定义线丛的情况就够了。陈类也自然的出现在代数几何中。

直观地说，陈类和向量丛的截面"所需要的0"的个数相关。

殆复流形的陈类和配边

陈类的理论导致了殆复流形的配边不变量的研究。

若M是一个复流形，则其切丛是一个复向量丛。M的陈类定义为其切丛的陈类。若M是紧的2d维的，则每个陈类中的2d次单项式可以和M的基本类配对，得到一个整数，称为M的。

若M′是另一个同维度的近复流形，则它和M配边，当且仅当M′和M陈数相同.

推广

陈类理论有个一般化，其中普通的上同调由一个广义上同调群理论所代替。使得这种一般化成为可能的称为复可定向的理论。陈类的形式化属性依然相同，但有一个关键的不同：计算线丛的张量积的第一陈类的规则不是各个因子的（普通）加法而是一个形式化群法则（formal group law）。

应用

• 拓扑K-理论
• 陳－韋伊同態

物理学

• 阿哈罗诺夫－玻姆效应
• 軸子
• 杨-米尔斯理论
• 瞬子
• 拓扑量子场论

参考文献

• Chern, Shiing-Shen, Characteristic classes of Hermitian manifolds, Annals of Mathematics. Second Series, 1946, 47: 85–121, ISSN 0003-486X, MR0015793 
• Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.
• Chern, Shiing-Shen Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.