除子

除子是代数几何中的一个重要概念。在黎曼面${\displaystyle X}$上，它可以简单的定义为${\displaystyle X}$上的点的(整系数)形式和，${\displaystyle D=\sum _{}^{}n_{p}p}$。一般地，对于代数闭域上的非奇异代数簇，它可以定义为余维为一的子簇的(整系数)形式和，也可以定义为层${\displaystyle K_{X}^{*}/O_{X}^{*}}$的一个整体截面。在满足一定条件的（可以是奇异的）代数簇上，这两种定义分别推广成Weil除子和Cartier除子。

黎曼面上的除子

在黎曼面${\displaystyle X}$ 上，它可以简单的定义为${\displaystyle X}$ 上的点的(整系数)形式和，${\displaystyle D=\sum _{}^{}n_{p}p}$ ，其中${\displaystyle p}$ 是${\displaystyle X}$ 上的点。型如${\displaystyle p}$ 的除子被称为素除子。一般的除子都是素除子的线性组合。${\displaystyle X}$ 上的全部除子构成一个交换群，记作${\displaystyle {\text{Div}}(X)}$ 。

对于${\displaystyle X}$ 上的非零亚纯函数${\displaystyle f}$ ，我们可以定义${\displaystyle f}$ 的除子

${\displaystyle {\text{div}}(f)=\sum _{p}^{}v_{p}(f)p}$ ，

其中${\displaystyle v_{p}(f)}$ 是${\displaystyle f}$ 在${\displaystyle p}$ 点零点的阶（非零点的阶为零，极点的阶按负值计）。型如${\displaystyle {\text{div}}f}$ 的除子叫做主除子。主除子构成的子群记作${\displaystyle {\text{Prin(X)}}}$ 。除子类群定义作${\displaystyle {\text{Cl}}(X)={\text{Div}}(X)/{\text{Prin(X)}}}$ 。对于紧黎曼面，这是一个有限生成的交换群，它是紧黎曼面${\displaystyle X}$ 的一个重要不变量。

从层论的观点看，除子是一个局部的概念，对于${\displaystyle X}$ 上任意的除子${\displaystyle D=\sum _{}^{}n_{p}p}$ ，和${\displaystyle X}$ 的开集${\displaystyle U}$ ，可以定义${\displaystyle D}$ 在${\displaystyle U}$ 上的限制${\displaystyle D|_{U}=\sum _{p\in U}^{}n_{p}p}$ 。函子${\displaystyle U\mapsto {\text{Div}}(U)}$ 是${\displaystyle X}$ 上的层。

给定${\displaystyle X}$ 上任何一个除子${\displaystyle D}$ ，局部上${\displaystyle D}$ 都可以被写作一个函数对应的主除子。精确地说，一定存在${\displaystyle X}$ 的一组开覆盖{${\displaystyle U_{i}}$ }以及每个${\displaystyle U_{i}}$ 上的函数${\displaystyle f_{i}}$ ，使得${\displaystyle D|_{U_{i}}={\text{div}}(f_{i})}$ 。一般说来，在${\displaystyle U_{i}}$ 和${\displaystyle U_{j}}$ 的交集上，${\displaystyle f_{i}}$ 和${\displaystyle f_{j}}$ 的限制未必相等，但易见在${\displaystyle U_{ij}}$ 上，存在一个处处非零的全纯函数${\displaystyle h}$ ，使得${\displaystyle f_{i}h=f_{j}}$ 。另外，${\displaystyle f_{i}}$ 的选取不是唯一的，因为我们总可以用一个处处非零的全纯函数${\displaystyle h}$ 来修正它。反过来，任意一组这样的数据${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ ，都给出了${\displaystyle X}$ 上的一个除子。

以上论证表明，黎曼面上的任意一个除子${\displaystyle D}$ ，都唯一地对应于层${\displaystyle K_{X}^{*}/O_{X}^{*}}$ 的一个整体截面。这是Cartier对于除子的观点。

从Cartier的观点出发，不难构造除子${\displaystyle D}$ 所对应的可逆层${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ ：取${\displaystyle X}$ 的一组开覆盖{${\displaystyle U_{i}}$ }，以及每个${\displaystyle U_{i}}$ 上的函数${\displaystyle f_{i}}$ ，使得${\displaystyle D|_{U_{i}}={\text{div}}(f_{i})}$ 。取${\displaystyle U_{i}}$ 上的平凡层${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}}$ ，在交集${\displaystyle U_{ij}=U_{i}\cap U_{j}}$ 上，如前所述${\displaystyle {\dfrac {f_{j}}{f_{i}}}}$ 是${\displaystyle U_{ij}}$ 上的一个可逆函数，从而它定义了${\displaystyle U_{ij}}$ 上平凡层的一个自同构。把这一同构视作粘合映射${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}|_{U_{ij}}\cong {\mathcal {O}}_{U_{j}}|_{U_{ij}}}$ ，不难验证这一族粘合映射满足cocycle条件，从而他们给出了${\displaystyle X}$ 上的一个可逆层。

反过来，对于黎曼面，每个可逆层都来自于一个除子。事实上，若${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 是可逆层，令${\displaystyle D}$ 为任意一个亚纯截面的除子，则${\displaystyle {\mathcal {L}}\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ 。

易见主除子对应的可逆层同构于平凡层。两个除子之和对应的可逆层是原来两个除子对应之可逆层的张量积。若两个除子之差为一主除子，则他们定义的线丛是同构的。

从线丛的观点看，若两个除子之差为一主除子，我们可以把它们视作等价。上面定义的映射${\displaystyle [D]\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ 给出了它与${\displaystyle {\text{Pic}}(X)}$ 的一个同构。这里${\displaystyle {\text{Pic}}(X)}$ 是可逆层的同构类在张量积下构成的交换群。

任意一个除子${\displaystyle D=\sum _{}^{}n_{p}p}$ ，我们可以定义${\displaystyle D}$ 的次数${\displaystyle {\text{deg}}D=\sum _{}^{}n_{p}}$ 。根据定义，这一定是一个有限和。对于紧黎曼面，主除子的次数总为零。由此可见，除子的次数只依赖于它在Picard群中的像。

Weil除子

若 X 是一不可约（irreducible），既约（reduced）的局部诺特概形（locally noetherian scheme）。其上一素韦伊除子（prime Weil divisor）是指一个余维数为一的不可约且既约的子概形。X 上的一个韦伊除子是素韦伊除子的有限形式和。

Cartier除子

假设 X 为一不可约且既约的诺特概形。则 X 上的非零有理函数的芽关于乘法构成了一个阿贝尔群层，记为 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\ast }}$ 。 它是一个常数层，且包含所有非零正则函数的芽层 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\ast }}$  为子层。按定义，X 上的一个卡蒂亚除子（Cartier divisor）为商层 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\ast }/{\mathcal {O}}_{X}^{\ast }}$  的一个整体截面。

类群

Cartier除子类群

Cartier除子定义的线丛