長球面坐標系

長球面坐標系（英語：Prolate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 ${\displaystyle F_{1}}$ 與 ${\displaystyle F_{2}}$ 的直角坐標分別為 ${\displaystyle (0,\ 0,\ -a)}$ 與 ${\displaystyle (0,\ 0,\ a)}$ 。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。（假若，繞著 y-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，包含於 z-軸。長球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最短的半軸的長度相同。

圖 1 ）長球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色長球面的 ${\displaystyle \mu =1}$ 。藍色半個雙葉雙曲面的 ${\displaystyle \nu =45^{\circ }}$ 。黃色半平面的 ${\displaystyle \phi =-60^{\circ }}$ （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 ${\displaystyle \left|\phi \right|}$ ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 ${\displaystyle (0.831,\ -1.439,\ 2.182)}$ 。

圖 2 ）兩個焦點在 z-軸的橢圓坐標系繪圖。横軸是 x-軸，豎軸是 z-軸。紅色橢圓（ ${\displaystyle \mu }$-等值線）變成上圖的紅色長球面（ ${\displaystyle \mu }$ 坐標曲面），而 ${\displaystyle x>0}$ 青藍色雙曲線（ ${\displaystyle \nu }$-等值線）則變成藍色雙葉雙曲面（ ${\displaystyle \nu }$ 坐標曲面）。

基本定義

在三維空間裏，一個點 P 的長球面坐標 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$  常見的定義是

${\displaystyle x=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi }$  、

${\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi }$  、

${\displaystyle z=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }$  ；

其中，${\displaystyle \mu \geq 0}$  是個實數，弧度 ${\displaystyle 0\leq \nu \leq \pi }$  ，弧度 ${\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }$  。

坐標曲面

${\displaystyle \mu }$  坐標曲面是長球面：

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$  。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 ${\displaystyle a\sinh \mu }$  ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 ${\displaystyle a\cosh \mu }$  。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 ${\displaystyle \pm a}$  。

${\displaystyle \nu }$  坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面：

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$  。

當 ${\displaystyle \nu <\pi /2}$  時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 ${\displaystyle \nu >\pi /2}$  時，坐標曲面在 xy-平面以下。

${\displaystyle \phi }$  坐標曲面是個半平面 ：

${\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}$  。

標度因子

長球面坐標 ${\displaystyle \mu }$  與 ${\displaystyle \nu }$  的標度因子相等：

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$  。

方位角 ${\displaystyle \phi }$  的標度因子為

${\displaystyle h_{\phi }=a\sinh \mu \ \sin \nu }$  。

無窮小體積元素是

${\displaystyle dV=a^{3}\sinh \mu \ \sin \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi }$  。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$  。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$  ， ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$  ，都可以用 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$  坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

當邊界條件涉及長球面時，長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，位置分別在 z-軸兩個焦點的電子，會產生怎樣的靜電場？一個關於氫離子 ${\displaystyle H_{2}^{+}}$  的問題是，當移動於兩個正價的原子核中間時，一個電子的波函數是什麼？另外一個很實際的問題是，兩個小電極尖端之間的電場是什麼？極限案例包括一根電線段 (${\displaystyle \mu =0}$ ) 產生的電場，缺了一線段的一根電線 (${\displaystyle \nu =0}$ ) 產生的電場。

第二種表述

 

圖 3 ）第二種長球面坐標系 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$  的三個坐標曲面。紅色長球面的 ${\displaystyle \sigma =1.54}$  坐標曲面。藍色半個旋轉雙曲面的 ${\displaystyle \tau =0.71}$  坐標曲面 。黃色半平面的 ${\displaystyle \phi =-60^{\circ }}$  坐標曲面 （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 ${\displaystyle \left|\phi \right|}$  ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示）。直角坐標大約為 ${\displaystyle (0.831,\ -1.439,\ 2.182)}$  。

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$  ：

${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$  、

${\displaystyle \tau =\cos \nu }$  、

${\displaystyle \phi =\phi }$  。

其中，${\displaystyle \sigma \geq 1}$  是個實數，${\displaystyle 1\geq \tau \geq -1}$  是個實數，弧度 ${\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }$  。

與扁球面坐標系不同，長球面坐標系並沒有簡併。在三維空間裏，長球面坐標系與直角坐標有一一對應關係:

${\displaystyle x=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}\cos \phi }$  、

${\displaystyle y=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}\sin \phi }$  、

${\displaystyle z=a\ \sigma \ \tau }$  。

坐標曲面

${\displaystyle \sigma }$  坐標曲面是長球面：

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}(\sigma ^{2}-1)}}=1}$  。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 ${\displaystyle a{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}$  ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 ${\displaystyle a\sigma }$  。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 ${\displaystyle \pm a}$  。

${\displaystyle \tau }$  坐標曲面是半個旋轉雙曲面：

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}(1-\tau ^{2})}}=1}$  。

當 ${\displaystyle \tau >0}$  時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 ${\displaystyle \tau <0}$  時，坐標曲面在 xy-平面以下。

${\displaystyle \phi }$  坐標曲面是個半平面 ：

${\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}$  。

任何一點 P 與焦點 ${\displaystyle F_{1}}$  ，${\displaystyle F_{2}}$  的距離 ${\displaystyle d_{1}}$  ，${\displaystyle d_{2}}$  ，可以一個很簡單的公式表示：

${\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma }$  、

${\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau }$  。

所以，點 P 與焦點 ${\displaystyle F_{1}}$  的距離 ${\displaystyle d_{1}}$  是 ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$  ，點 P 與焦點 ${\displaystyle F_{2}}$  的距離 ${\displaystyle d_{2}}$  是 ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$  。（回想 ${\displaystyle F_{1}}$  ，${\displaystyle F_{2}}$  都是在 z-軸，分別位於 ${\displaystyle z=-a}$  ，${\displaystyle z=+a}$  。）

標度因子

第二種長球面坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$  的標度因子分別為:

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$  、

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$  、

${\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}$  。

無窮小體積元素是

${\displaystyle dV=a^{3}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau d\phi }$  。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$  。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$  ， ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$  ，都可以用 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$  坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為長扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及長球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

參閱

參考目錄

不按照命名常規

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 661.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用 ${\displaystyle \xi _{1}=a\cosh \mu }$  、${\displaystyle \xi _{2}=\sin \nu }$  、${\displaystyle \xi _{3}=\cos \phi }$  。

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用 ${\displaystyle u_{k}}$  來替代 ${\displaystyle \xi _{k}}$  。

• Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用混合坐標 ${\displaystyle \xi =\cosh \mu }$  、${\displaystyle \eta =\sin \nu }$  、${\displaystyle \phi =\phi }$  。

按照命名常規

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用第一種表述 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$  ，又加介紹了簡併的第三種表述 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$  。

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 180–182.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同 Korn and Korn (1961) ，但採用餘緯度 ${\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }$  來替代緯度 ${\displaystyle \nu }$  。

• Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 28–30 (Table 1.06). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer 採用餘緯度常規 ${\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }$  ，又改名 ${\displaystyle \phi }$  為 ${\displaystyle \psi }$  。

特異命名常規

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。