比值审敛法, ratio, test, 是判别级数敛散性的一种方法, 又称为达朗贝尔判别法, alembert, test, 无穷级数ζ, displaystyle, zeta, infty, frac, 无穷级数审敛法項測試, 比较审敛法, 極限比較審斂法, 根值审敛法, 柯西判别法, 柯西並項判别法, 拉比判别法, 高斯判别法, 积分判别法, 魏尔施特拉斯判别法, 貝特朗判別法, 狄利克雷判别法, 阿贝尔判别法, 庫默爾判別法, 斯托尔兹, 切萨罗定理, 迪尼判别法级数调和级数, 调和级数, 幂级数, 泰勒级数. 比值审敛法 Ratio test 是判别级数敛散性的一种方法 又称为达朗贝尔判别法 D Alembert s test 1 无穷级数z s k 1 1 k s displaystyle zeta s sum k 1 infty frac 1 k s 无穷级数审敛法項測試 比较审敛法 極限比較審斂法 根值审敛法 比值审敛法 柯西判别法 柯西並項判别法 拉比判别法 高斯判别法 积分判别法 魏尔施特拉斯判别法 貝特朗判別法 狄利克雷判别法 阿贝尔判别法 庫默爾判別法 斯托尔兹 切萨罗定理 迪尼判别法级数调和级数 调和级数 幂级数 泰勒级数 傅里叶级数查论编 目录 1 定理 2 证明 3 例子 3 1 收敛 3 2 发散 3 3 不能确定 4 参见 5 参考文献定理 编辑 nbsp 比值审敛法判断流程表设 n 1 u n displaystyle sum n 1 infty u n nbsp 为一级数 如果lim n u n 1 u n r displaystyle lim n to infty left frac u n 1 u n right rho nbsp 当r lt 1时级数絕對收敛 当r gt 1时级数发散 当r 1时级数可能收敛也可能发散 证明 编辑如果r lt 1 displaystyle rho lt 1 nbsp 那么存在一个实数r displaystyle r nbsp 以及一个正整数N displaystyle N nbsp 满足r lt r lt 1 displaystyle rho lt r lt 1 nbsp 使得当n gt N displaystyle n gt N nbsp 时 总有 a n 1 lt r a n displaystyle a n 1 lt r a n nbsp 成立 因此在上述条件下 当k displaystyle k nbsp 为正整数时有 a n k lt r k a n displaystyle a n k lt r k a n nbsp 于是根据无穷等比数列求和得出下式绝对收敛 k N 1 a k k 1 a N k lt a N k 1 r k a N r 1 r lt displaystyle sum k N 1 infty a k sum k 1 infty a N k lt a N sum k 1 infty r k frac a N cdot r 1 r lt infty nbsp 如果r gt 1 displaystyle rho gt 1 nbsp 那么同样存在一个正整数N displaystyle N nbsp 使得当n gt N displaystyle n gt N nbsp 时 总有 a n 1 gt a n displaystyle a n 1 gt a n nbsp 求和项的极限不为零 于是级数发散 而当r 1 displaystyle rho 1 nbsp 时 以 n 1 1 n displaystyle sum n 1 infty frac 1 n nbsp 与 n 1 1 n 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 2 nbsp 为例 结果同样为lim n 1 n 1 1 n lim n 1 n 1 2 1 n 2 1 displaystyle lim n to infty left frac frac 1 n 1 frac 1 n right lim n to infty left frac frac 1 n 1 2 frac 1 n 2 right 1 nbsp 但前者发散而后者收敛 后者收敛值为p 2 6 displaystyle frac pi 2 6 nbsp 该例子可以用比较审敛法来审敛 例子 编辑收敛 编辑 考虑级数 n 1 n e n displaystyle sum n 1 infty frac n e n nbsp lim n a n 1 a n lim n n 1 e n 1 n e n lim n n 1 e n 1 e n n lim n n 1 n e n e n e lim n 1 1 n 1 e 1 1 e 1 e lt 1 displaystyle begin aligned lim n to infty left frac a n 1 a n right amp lim n to infty left frac frac n 1 e n 1 frac n e n right amp lim n to infty left frac n 1 e n 1 cdot frac e n n right amp lim n to infty left frac n 1 n cdot frac e n e n cdot e right amp lim n to infty left left 1 frac 1 n right cdot frac 1 e right amp 1 cdot frac 1 e frac 1 e lt 1 end aligned nbsp 因此该级数收敛 发散 编辑 考虑级数 n 1 e n n displaystyle sum n 1 infty frac e n n nbsp lim n a n 1 a n displaystyle lim n rightarrow infty left frac a n 1 a n right nbsp lim n e n 1 n 1 e n n displaystyle lim n rightarrow infty left frac frac e n 1 n 1 frac e n n right nbsp lim n e n 1 n 1 n e n displaystyle lim n rightarrow infty left frac e n 1 n 1 cdot frac n e n right nbsp lim n n n 1 e n e e n displaystyle lim n rightarrow infty left frac n n 1 cdot frac e n cdot e e n right nbsp lim n 1 1 n 1 e displaystyle lim n rightarrow infty left 1 frac 1 n 1 cdot e right nbsp 1 e displaystyle 1 cdot e nbsp e gt 1 displaystyle e gt 1 nbsp 因此该级数发散 不能确定 编辑 级数 n 1 1 displaystyle sum n 1 infty 1 nbsp 发散 但 lim n 1 1 1 displaystyle lim n rightarrow infty left frac 1 1 right 1 nbsp 而级数 n 1 1 n 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 2 nbsp 收敛 但 lim n 1 n 1 2 1 n 2 1 displaystyle lim n rightarrow infty left frac frac 1 n 1 2 frac 1 n 2 right 1 nbsp 参见 编辑根值审敛法 比较审敛法 拉比判别法参考文献 编辑 卓里奇 B A 数学分析 第7版 ISBN 9787040287554 取自 https zh wikipedia org w index php title 比值审敛法 amp oldid 77098893, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,