贝特朗判别法

贝特朗判别法（英語：Bertrand's test）是正项级数敛散性的一种判别方法，分析通过级数项作成的形如${\displaystyle \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\ln {n}}$序列的极限，可以更为精细地讨论级数的收敛性，可以看作达朗贝尔判别法、拉阿伯判别法或库默尔判别法（英语：Ratio test#5. Kummer’s test）的推论。

无穷级数
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
无穷级数
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查 论 编

定理

设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 是欲判断敛散性的级数，定义序列

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}=\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\ln n.}$ 

设它具有极限 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{\mathcal {B}}_{n}}={\mathcal {B}}}$ 

那么：

• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B}}>1}$ ，级数收敛；
• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B}}<1}$ ，级数发散；
• 倘若${\displaystyle {\mathcal {B}}=1}$ ，则级数的敛散性暂时不能确定^[1]。

证明

在库默尔判别法（英语：Ratio test#5. Kummer’s test）中取${\displaystyle c_{n}=n\ln n(n\geq 2)}$ ，这样的选取是可以允许的，因为级数${\displaystyle \sum {\frac {1}{n\ln n}}}$ 发散。

在这情形下有${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}=n\ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln(n+1)}$ 。

也可以表示成${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}=\ln n\left[n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right]-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}={\mathcal {B}}_{n}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}}$ 。

其中${\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}=\ln n\left[n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right]=\ln n\cdot \left({\mathcal {R}}_{n}-1\right)}$ ，这就得到了贝特朗判别法。

參考文獻

1. Г. М. 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程（第二卷）（第8版） 第二版. 2006: 230. ISBN 978-7-04-018304-7.