合成列, 在抽象代數中, 是藉著將代數對象, 如群, 模等等, 拆解為簡單的成份, 以萃取不變量的方式之一, 以模為例, 一般環上的模未必能表成單模的直和, 但是我們可退而求其次, 考慮一組過濾, displaystyle, subset, cdots, subset, 使每個子商, displaystyle, 皆為單模, 這些單模稱為合成因子, displaystyle, 稱為合成長度, 都是, displaystyle, 的不變量, 亦可考慮, displaystyle, 的子模範疇, displaystyle. 在抽象代數中 合成列是藉著將代數對象 如群 模等等 拆解為簡單的成份 以萃取不變量的方式之一 以模為例 一般環上的模未必能表成單模的直和 但是我們可退而求其次 考慮一組過濾 0 M 0 M n M displaystyle 0 M 0 subset cdots subset M n M 使每個子商 M i M i 1 displaystyle M i M i 1 皆為單模 這些單模稱為合成因子 n displaystyle n 稱為合成長度 都是 M displaystyle M 的不變量 亦可考慮 M displaystyle M 的子模範疇 A displaystyle mathcal A 此時 M K A displaystyle M in K mathcal A 可唯一表為合成因子之和 在此意義下 K 群提供了模的半單化 合成列未必存在 即使存在也未必唯一 然而若尔当 赫尔德定理斷言 若一對象有合成列 則子商的同構類是唯一確定的 至多差一個置換 因此 合成列給出有限群或阿廷模的不變量 目录 1 群的情形 2 模的情形 3 例子 4 若尔当 赫尔德定理 5 參見 6 站外連結群的情形 编辑設 G displaystyle G nbsp 為群 G displaystyle G nbsp 的合成列是對應於一族子群 e H 0 H 1 H n G displaystyle e H 0 subset H 1 subset cdots subset H n G nbsp 滿足 H i H i 1 displaystyle H i triangleleft H i 1 nbsp 使其子商 H i 1 H i displaystyle H i 1 H i nbsp 皆為非平凡的單群 易言之 H i displaystyle H i nbsp 是 H i 1 displaystyle H i 1 nbsp 的極大正規子群 這些子商也稱作合成因子 對於有限群 恆存在合成列 模的情形 编辑固定環 R displaystyle R nbsp 及 R displaystyle R nbsp 模 M displaystyle M nbsp M displaystyle M nbsp 的合成列是一族子模 0 J 0 J n M displaystyle 0 J 0 subset cdots subset J n M nbsp 其中每個子商 J k 1 J k displaystyle J k 1 J k nbsp 皆為非平凡的單模 易言之 J k displaystyle J k nbsp 是 J k 1 displaystyle J k 1 nbsp 的極大子模 這些子商也稱為合成因子 若 R displaystyle R nbsp 是阿廷環 根據 Hopkins Levitzki 定理 任何有限生成的 R displaystyle R nbsp 模皆有合成列 例子 编辑例子 考慮 12 階循環群 C 12 displaystyle C 12 nbsp 它具有三個相異的合成列 C 1 C 2 C 6 C 12 displaystyle C 1 triangleleft C 2 triangleleft C 6 triangleleft C 12 nbsp C 1 C 2 C 4 C 12 displaystyle C 1 triangleleft C 2 triangleleft C 4 triangleleft C 12 nbsp C 1 C 3 C 6 C 12 displaystyle C 1 triangleleft C 3 triangleleft C 6 triangleleft C 12 nbsp 合成因子分別為 C 2 C 3 C 2 displaystyle C 2 C 3 C 2 nbsp C 2 C 2 C 3 displaystyle C 2 C 2 C 3 nbsp C 3 C 2 C 2 displaystyle C 3 C 2 C 2 nbsp 其間僅差個置換 若尔当 赫尔德定理 编辑定理 若群 G displaystyle G nbsp 或 R displaystyle R nbsp 模 M displaystyle M nbsp 有合成列 則任兩個合成列都有相同長度 合成因子的同構類與合成列的選取無關 其間至多差一個置換 略證 以下僅處理模的情形 群的情形可依此類推 假設存在兩個合成列 0 M 0 M r M displaystyle 0 M 0 subset cdots subset M r M nbsp 0 M 0 M s M displaystyle 0 M 0 subset cdots subset M s M nbsp 對 m i n r s displaystyle mathrm min r s nbsp 行數學歸納法 若 m i n r s 0 displaystyle mathrm min r s 0 nbsp 則 M 0 displaystyle M 0 nbsp 若 m i n r s 1 displaystyle mathrm min r s 1 nbsp 則 M displaystyle M nbsp 是單模 以下假定 r s 2 displaystyle r s geq 2 nbsp 若 M r 1 M s 1 displaystyle M r 1 M s 1 nbsp 據歸納法假設 r 1 s 1 displaystyle r 1 s 1 nbsp 且 M i 1 M i displaystyle M i 1 M i nbsp 與 M i 1 M i displaystyle M i 1 M i nbsp 0 i r 2 displaystyle 0 leq i leq r 2 nbsp 之間僅差置換 此外 M M r 1 M M s 1 displaystyle M M r 1 M M s 1 nbsp 故定理成立 設 M r 1 M s 1 displaystyle M r 1 neq M s 1 nbsp 此時必有 M r 1 M s 1 M displaystyle M r 1 M s 1 M nbsp 置 N M r 1 M s 1 displaystyle N M r 1 cap M s 1 nbsp 於是 M M r 1 M r 1 M s 1 M r 1 M s 1 N displaystyle M M r 1 M r 1 M s 1 M r 1 simeq M s 1 N nbsp M M s 1 M r 1 M s 1 M s 1 M r 1 N displaystyle M M s 1 M r 1 M s 1 M s 1 simeq M r 1 N nbsp 取 N displaystyle N nbsp 的合成列 0 K 0 K t N displaystyle 0 K 0 subset cdots subset K t N nbsp 依上式知 0 K 0 K t N M r 1 M displaystyle 0 K 0 subset cdots subset K t N subset M r 1 subset M quad ldots nbsp 0 K 0 K t N M s 1 M displaystyle 0 K 0 subset cdots subset K t N subset M s 1 subset M quad ldots nbsp 皆為合成列 其合成因子僅差個換位 根據歸納法假設 若同刪去尾項 M displaystyle M nbsp 則 與 的合成因子分別等同於合成列 M M displaystyle M bullet M bullet nbsp 的合成因子 至多差個置換 是故定理得證 參見 编辑正規列 長度 模論 站外連結 编辑O A Ivanova L A Skornyakov Composition sequence Hazewinkel Michiel 编 数学百科全书 Springer 2001 ISBN 978 1 55608 010 4 取自 https zh wikipedia org w index php title 合成列 amp oldid 74533495 約當 赫德定理, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,