比较审敛法, direct, comparison, test, 是一种判定级数是否收敛的方法, 无穷级数ζ, displaystyle, zeta, infty, frac, 无穷级数审敛法項測試, 極限比較審斂法, 根值审敛法, 比值审敛法, 柯西判别法, 柯西並項判别法, 拉比判别法, 高斯判别法, 积分判别法, 魏尔施特拉斯判别法, 貝特朗判別法, 狄利克雷判别法, 阿贝尔判别法, 庫默爾判別法, 斯托尔兹, 切萨罗定理, 迪尼判别法级数调和级数, 调和级数, 幂级数, 泰勒级数, 傅里叶级数查论编, 目录. 比较审敛法 Direct comparison test 是一种判定级数是否收敛的方法 无穷级数z s k 1 1 k s displaystyle zeta s sum k 1 infty frac 1 k s 无穷级数审敛法項測試 比较审敛法 極限比較審斂法 根值审敛法 比值审敛法 柯西判别法 柯西並項判别法 拉比判别法 高斯判别法 积分判别法 魏尔施特拉斯判别法 貝特朗判別法 狄利克雷判别法 阿贝尔判别法 庫默爾判別法 斯托尔兹 切萨罗定理 迪尼判别法级数调和级数 调和级数 幂级数 泰勒级数 傅里叶级数查论编 目录 1 定理 2 证明 2 1 证明1 2 2 证明2 3 参见定理 编辑设两个正项级数 n 1 u n displaystyle sum n 1 infty u n 和 n 1 v n displaystyle sum n 1 infty v n 且u n v n n 1 2 3 displaystyle u n leq v n n 1 2 3 如果级数 n 1 v n displaystyle sum n 1 infty v n 收敛 则级数 n 1 u n displaystyle sum n 1 infty u n 收敛 如果级数 n 1 u n displaystyle sum n 1 infty u n 发散 则级数 n 1 v n displaystyle sum n 1 infty v n 发散 证明 编辑证明1 编辑 设s k n 1 u n s k n 1 v n displaystyle sigma k sum n 1 infty u n s k sum n 1 infty v n 当u n v n displaystyle u n leq v n 时 则有s k s k displaystyle sigma k leq s k 当级数 n 1 v n displaystyle sum n 1 infty v n 收敛时 数列s k displaystyle s k 有界 从而数列s k displaystyle sigma k 有界 所以级数 n 1 u n displaystyle sum n 1 infty u n 收敛 当级数 n 1 u n displaystyle sum n 1 infty u n 发散时 数列s k displaystyle sigma k 无界 从而数列s k displaystyle s k 无界 所以级数 n 1 v n displaystyle sum n 1 infty v n 发散 证明2 编辑 设有级数 a n displaystyle sum a n 与 b n displaystyle sum b n 其中 b n displaystyle sum b n 绝对收敛 b n displaystyle sum b n 收敛 不失一般性地假设对于任何正整数n 都满足 a n b n displaystyle a n leq b n 考虑它们的部分和S n a 1 a 2 a n T n b 1 b 2 b n displaystyle S n a 1 a 2 dots a n T n b 1 b 2 dots b n 由于 b n displaystyle sum b n 绝对收敛 存在实数T 使得lim n T n T displaystyle lim n to infty T n T 成立 对于任意n 都有0 S n a 1 a 2 a n a 1 a n b n 1 S n T T n T displaystyle 0 leq S n a 1 a 2 ldots a n leq a 1 ldots a n b n 1 ldots S n T T n leq T 因满足 a n b n displaystyle a n leq b n 由于S n displaystyle S n 为单调不下降序列 S n T T n displaystyle S n T T n 为单调不上升序列 隨著n上升 屬於 a n displaystyle a n 的便多過屬於 b n displaystyle b n 给定m n gt N displaystyle m n gt N S n S m displaystyle S n S m 都属于闭区间 S N S N T T N displaystyle S N S N T T N 当N趋向无穷大时 这个区间的长度T T n displaystyle T T n 趋向于0 这表明 S n n 1 2 displaystyle S n n 1 2 ldots 是一个柯西序列 因此收敛于一个极限值 因此 a n displaystyle sum a n 绝对收敛 参见 编辑审敛法 比值审敛法 根值审敛法 交错级数审敛法 取自 https zh wikipedia org w index php title 比较审敛法 amp oldid 75214059, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,