柯爾莫果洛夫空間

在拓扑学和相关的数学分支中，T₀空間，又稱柯爾莫哥洛夫空間（T0 space or Kolmogorov space），以數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫命名，形成了一类广泛的表现良好的拓扑空间。T₀ 条件是分离公理之一。

定义

一個拓樸空間X是T₀ 空间，当且仅当${\displaystyle \forall x,y\in X}$ 且${\displaystyle x\neq y}$ ，存在一個開集合${\displaystyle U}$ 使得${\displaystyle x\in U,\ y\notin U}$ 或${\displaystyle y\in U,\ x\notin U}$ 。^[1]

T₀ 空间中所有成对的独特的点都是拓扑可区分的。也就是说，对于任何两个独特的点 x 和 y ，有一个开集正好只包含这两个点其中的一个。

注意拓扑可区分点自动的是独特的。在另一方面，如果单元素集合 {x} 和 {y} 是分离的，则点 x 和 y 必定是拓扑可区分的。也就是说，

“分离”的 ⇒ “拓扑可区分”的 ⇒ “独特”的

是拓扑可区分的性质一般的要强于是独特的，但要弱于可分离的。在 T₀ 空间中，第二个箭头是可以反转的：点是独特的当且仅当它们是拓樸可区分的。这是 T₀ 公理适合余下分离公理之处。

例子和反例

在数学中经常研究的几乎所有拓扑都是 T₀ 的。特别是，所有豪斯多夫空间和 T₁ 空间都是 T₀ 的。

非 T₀ 空间

• 有多于一个元素的集合带有密着拓扑。没有点是可区分的。
• 集合 R² 这里的开集是 R 的开集和 R 自身的笛卡尔乘积，就是说带有平常拓扑 R 和带有密着拓扑 R 的乘积空间；点 (a,b) 和 (a,c) 是不可区分的。
• 所有从实直线 R 到复平面 C 的可测函数 f 的空间，它使得 |f(x)|² 在整个实直线上的勒贝格积分是有限的。几乎处处相等的两个函数是不可区分的。

T₀ 但非 T₁ 空间

• 交换环 R 的素环谱 Spec(R) 上的 Zariski拓扑总是 T₀ 但一般不是 T₁。非闭合点对应于不是极大理想的素理想。它们对于理解概形是重要的。
• 在带有至少两个元素的任何集合上的特定点拓扑是 T₀ 但不是 T₁，因为特定点不是闭合的（它的闭包是整个空间）。一种重要特殊情况是在集合 {0,1} 上的特定点拓扑的謝爾賓斯基空間。
• 在带有至少两个元素的任何集合上的排斥点拓扑是 T₀ 但不是 T₁。唯一闭合点是排斥点。
• 在偏序集合上的Alexandrov拓扑是 T₀ 但不是 T₁ 除非这个次序是离散的（一致于相等性）。所有有限 T₀ 空间都是这种类型的。这还包括特定点和排斥点拓扑作为特殊情况。
• 在全序集合上的右序拓扑是有关的例子。
• 重叠区间拓扑类似于特定点拓扑，因为所有开集都包括 0。
• 非常一般的说，拓扑空间 X 是 T₀ 的，当且仅当在 X 上的特殊化预序是偏序。但是，X 将是 T₁ 的，当且仅当这个次序是离散的（一致于相等性）。所以空间将是 T₀ 但不是 T₁，当且仅当在 X 上的这个特殊化预序是非离散偏序。

操作 T₀ 空间

典型研究的拓扑空间的例子是 T₀。实际上，当数学家在很多领域特别是数学分析中，偶尔遇到非T₀ 空间的时候，它们通过以如下方式把它替代为 T₀ 空间。为了激发涉及到的想法，考虑周知的例子。L²(R) 空间是从实直线 R 到复平面 C 的可测函数的空间，它使得 |f(x)|² 在整个实直线上的勒贝格积分是有限的。这个空间应当通过定义范数 ||f|| 为这个积分的平方根来变成赋範向量空间。问题是这不是实际上的範数，只是半範数，因为有除了零函数之外有（半）范数为零的函数。标准解决是定义 L²(R) 为函数的等价类集合而不是直接的函数集合。这种构造了最初半赋範向量空间的商空间，而这个商是赋範向量空间。它从半赋範空间继承了一些方便的性质。

一般的说，在处理集合 X 上一个固定拓扑 T 的时候，如果这个拓扑是 T₀ 将是有帮助的。换句话说，在 X 是固定而 T 允许在特定边界内变化的时候，强迫 T 是 T₀ 将是不方便的，因为非 T₀ 拓扑经常是重要的特殊情况。因此，區分可以放置在拓扑空间上的各种条件的 T₀ 和非 T₀ 版本二者是重要的。

柯爾莫哥洛夫商空间

点的拓扑不可区分性是等价关系。不管给出了何种拓扑空间 X，在这个等价关系下的商空间总是T₀。这个商空间叫做 X 的柯爾莫果洛夫商空间，它指示为 KQ(X)。当然，如果 X 就是 T₀，则 KQ(X) 和 X 是自然同胚的。绝对的说，柯爾莫果洛夫空间是拓扑空间的反射子范畴，而柯爾莫果洛夫商是反射子。

拓扑空间 X 和 Y 是柯爾莫果洛夫等价的，当它们的柯爾莫果洛夫商同胚的时候 。这种等价性保持很多拓扑空间的性质；就是说，如果 X 和 Y 是柯爾莫果洛夫商，则 X 有某种性质当且仅当 Y 也有。在另一方面，多数其他拓扑空间的性质蕴涵了 T₀ 性；就是说如果 X 有这种性质，则 X 必定是 T₀。只有很少性质比如是不可分空间，是这个经验规则的例外。甚至更好，在拓扑空间上定义的很多结构都可在 X 和 KQ(X) 之间转移。结果就是如果你有带有特定结构或性质的非 T₀ 拓扑空间，则你通常可通过选取柯爾莫果洛夫商来形成带有相同结构或性质的 T₀ 空间。

L²(R) 的例子展示了这些特征。从拓扑学的角度，这个半赋範向量空间有很多额外的结构；例如，它是向量空间，并有半范数，并且这些定义了相容于这个拓扑的伪度量和一致结构。还有，这些结构有很多性质；例如半范数满足平行四边形恒等式而一致结构是完备的。这个空间不是 T₀ 的因为几乎处处相等的任何两个 L²(R) 的函数关于这个拓扑是不可区分的。当我们形成柯爾莫果洛夫商的时候，实际的 L²(R) 保持了这些结构和性质。因此，L²(R) 也是满足平行四边形恒等式的完备半赋范向量空间。但是我们实际上得到的要多了一点，因为这个空间现在是 T₀ 的。半范数是范数，当且仅当底层拓扑是 T₀，所以 L²(R) 实际上是满足平行四边形恒等式的完备赋范向量空间 — 也叫做希尔伯特空间。它是数学家（和研究量子力学的物理学家）一般都研究的希尔伯特空间。注意符号 L²(R) 通常指示柯爾莫果洛夫商，在测度零的集合上有所不同的平方可积函数的等价类的集合，而非符号所暗示的简单的是平方可积函数的向量空间。

去除 T₀

你可能注意到了，尽管范数历史上定义在先，人们也提出了半范数的定义，它是范数的一种非 T₀ 版本。一般的说，可以定义拓扑空间的性质和结构二者的非 T₀ 版本。首先，考虑拓扑空间的一个性质，比如是豪斯多夫的性质。你可以定义另一个拓扑空间性质，通过定义空间 X 为满足这个性质，当且仅当柯爾莫果洛夫商 KQ(X) 是豪斯多夫的。这是一个明智的不太著名的性质，这种空间 X 被为预正则的。（甚至有预正则性的更直接的定义）。现在考虑可以放置到拓扑空间上一个结构，比如度量。我们可以通过设置在 X 上的结构简单的是在 KQ(X) 上的度量来定义一个新结构。有这种在 X 上的明智的结构，它就是伪度量。（伪度量也有更直接的定义）。

在这种方式下，有从性质或结构的要求中去除 T₀ 性的自然方式。研究 T₀ 的空间一般要容易些，但让非 T₀ 的结构得到漂洗后的对应者也是容易的。使用柯爾莫果洛夫商的概念可以任意的增加或去除 T₀ 要求。

參考來源

1. Weisstein, Eric W. (编). T₀-Space. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2017-10-04]. （原始内容于2020-06-28） （英语）. 

外部链接

• Curriculum Vitae and Biography. Kolmogorov School. Ph.D. students and descendants of A.N. Kolmogorov. A.N. Kolmogorov works, books, papers, articles. Photographs and Portraits of A.N. Kolmogorov.
• (PDF file)