有限秩算子

泛函分析中，有限秩算子（英語：Finite-rank operator）是巴拿赫空间之间，像的维数有限的有界线性算子。^[1]

希爾伯特空間中

典範型

有限秩算子類似有限大小的矩陣，但是放在無窮維空間中。於是，可藉線性代數技巧刻畫其性質。

由線性代數知，複矩陣${\displaystyle M\in \mathbb {C} ^{n\times m}}$ 之秩為1，當且僅當${\displaystyle M}$ 可以寫成：

${\displaystyle M=\alpha \cdot uv^{*}}$  其中 ${\displaystyle \|u\|=\|v\|=1}$  且 ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ 

同樣可證希氏空間${\displaystyle H}$ 上，算子${\displaystyle T}$ 之秩為1，當且僅當

${\displaystyle Th=\alpha \langle h,v\rangle u\quad \forall h\in H,}$ 

其中${\displaystyle \alpha ,u,v}$ 與有限維情況滿足同等條件。由此，用數學歸納法，可證秩${\displaystyle n}$ 的算子${\displaystyle T}$ 必可寫成

${\displaystyle Th=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad \forall h\in H,}$ 

其中${\displaystyle \{u_{i}:i=1,2,\ldots ,n\}}$ 和${\displaystyle \{v_{i}:i=1,2,\ldots ,n}\}$ 皆為标准正交基。前述表示法實質等同於奇异值分解，可以稱為有限秩算子的「典範型」（canonical form）。

略加推廣，若${\displaystyle n}$ 改為可數無窮，而正實數列${\displaystyle \{\alpha _{i}\}}$ 僅會聚於0，則${\displaystyle T}$ 為緊算子（英语：compact operator on Hilbert space），相應的和式稱為緊算子的典範型。

若級數${\displaystyle \sum _{i}\alpha _{i}}$ （跡）收斂，則${\displaystyle T}$ 是迹类算子。

代數性質

希氏空間${\displaystyle H}$ 上，全體有限秩算子之族${\displaystyle F(H)}$ 是有界算子代數${\displaystyle L(H)}$ 的雙邊*理想。此外，其為此類（非零）理想中最小者，即${\displaystyle L(H)}$ 的任何雙邊*理想${\displaystyle I}$ 必包含全體有限秩算子。簡證如下：取非零算子${\displaystyle T\in I}$ ，則有非零的${\displaystyle f,g}$ 使${\displaystyle Tf=g}$ 。衹需證對任意${\displaystyle h,k\in H}$ ，將${\displaystyle h}$ 映至${\displaystyle k}$ 的秩1算子${\displaystyle S_{h,k}}$ 屬於${\displaystyle I}$ 。同樣定義${\displaystyle S_{h,f}}$ 和${\displaystyle S_{g,k}}$ ，則有

${\displaystyle S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f},\,}$ 

從而${\displaystyle S_{h,k}}$ 在${\displaystyle I}$ 中，證畢。

${\displaystyle L(H)}$ 的雙邊*理想舉例有跡類、希尔伯特-施密特算子類、紧算子類。三類各自配備範數，而${\displaystyle F(H)}$ 在此三個賦範空間中稠密。

由於${\displaystyle L(H)}$ 的每個雙邊理想都包含${\displaystyle F(H)}$ ，${\displaystyle L(H)}$ 為單代數當且僅當有限維。

巴拿赫空間中

巴拿赫空间${\displaystyle U,V}$ 之間的有限秩算子${\displaystyle T:U\to V}$ 是值域僅得有限維的有界算子。與希氏空間的情況一樣，可以寫成

${\displaystyle Th=\sum _{i=1}^{n}\langle u_{i},h\rangle v_{i}\quad \forall h\in U,}$ 

其中${\displaystyle v_{i}\in V}$ ，但由於${\displaystyle U}$ 中沒有定義內積，${\displaystyle u_{i}\in U'}$ 換成${\displaystyle U}$ 上的有界線性泛函。

有界線性泛函是有限秩算子的特例，其秩為1。

參考文獻

1. . 2004 [2022-01-24]. （原始内容存档于2022-03-19）.