施瓦茨-米爾諾引理

施瓦茨－米爾諾（Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor^[1]）引理，是數學上的一個結果，給出了群和在度量空間上的群作用的關係。阿爾伯特·施瓦茨首先發現這個結果，十數年後約翰·米爾諾重新發現。這條引理有時稱為幾何群論基本定理。^[2]有了這條引理，就可以由度量空間的幾何性質，來研究群的性質。

定義

設X為一個度量空間。如果X每兩點都有測地線相連，就稱X為測地的。

如果X中每一個閉球都是緊緻集，就稱X為常態的。考慮X中從某點${\displaystyle x'}$ 量度距離的函數${\displaystyle d_{x'}:X\to [0,\infty )}$ 

${\displaystyle d_{x'}(x):=d_{X}(x,x')}$ 

那麼閉球${\displaystyle {\overline {B(x',a)}}}$ 是緊緻區間[0,a]在${\displaystyle d_{x'}}$ 下的原像。因此，閉球都是緊緻集這個條件，便等價於所有形如${\displaystyle d_{x'}}$ 的距離函數都是常態映射。這就是稱度量空間X為常態的原因。

一個群G在X上的群作用稱為真不連續的，如果對每個緊緻集${\displaystyle K\subset X}$ ，G中只有有限個元素g，使得${\displaystyle g\cdot K\cap K\neq \varnothing }$ 。這個群作用稱為餘緊的，如果存在一個緊緻集${\displaystyle K'\subset X}$ ，使得${\displaystyle G\cdot K'=X}$ 。

引理敘述

設X為一個常態測地度量空間。如果一個群G以等距映射真不連續地、餘緊地作用在X上，那麼G是有限生成群。而且G中用一個有限生成集合S賦予G以字度量後，和X擬等距同構；對於X的任何一點${\displaystyle x_{0}}$ ，映射${\displaystyle g\mapsto g\cdot x_{0}}$ 都是從G到X的擬等距映射。

證明

G中任何有限生成集合所對應的字度量，都是擬等距同構。故此只需找到一個有限生成集合S，證明在G上取對應S的字度量後，和X是擬等距同構即可。

選定${\displaystyle x_{0}\in X}$ 。因為群作用是餘緊的，存在${\displaystyle r>0}$ ，使得${\displaystyle B(x_{0},r)}$ 在G的作用下覆蓋X。

取G的一個子集

${\displaystyle S=\{g\in G\setminus \{e\}|d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})<2r+1\}}$ 

G的元素g若在子集S內，則有

${\displaystyle g\cdot {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}\cap {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}\neq \varnothing }$ 

X是常態度量空間，故${\displaystyle {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}}$ 是緊緻集，又因群作用是真不連續的，所以這樣的g僅有有限個。因此S是有限集。

對G中任何非平凡元素g，有一條測地線段連接兩點${\displaystyle x_{0}}$ 和${\displaystyle g\cdot x_{0}}$ 。設k為整數，符合

${\displaystyle k\leq d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})<k+1}$ 

在這條測地線段上取點${\displaystyle x_{j}}$ ，j=1,..., k+1，滿足${\displaystyle d_{X}(x_{j-1},x_{j})\leq 1}$ 。

對每一點${\displaystyle x_{j}}$ ，都存在G中的元素${\displaystyle g_{j}}$ ，使得${\displaystyle x_{j}\in g_{j}\cdot B(x_{0},r)}$ 。可指定${\displaystyle g_{0}=e}$ , ${\displaystyle g_{k+1}=g}$ 。如果${\displaystyle g_{j-1}\neq g_{j}}$ ，則有${\displaystyle g_{j-1}^{-1}g_{j}\in S}$ ，因為

${\displaystyle {\begin{aligned}&d_{X}(x_{0},g_{j-1}^{-1}g_{j}\cdot x_{0})\\=&d_{X}(g_{j-1}\cdot x_{0},g_{j}\cdot x_{0})\\\leq &d_{X}(g_{j-1}\cdot x_{0},x_{j-1})+d_{X}(x_{j-1},x_{j})+d_{X}(x_{j},g_{j}\cdot x_{0})\\<&r+1+r=2r+1\end{aligned}}}$ 

由此得出g是由最多k+1個S的元素的積。因此S是G的生成集合，而且對所有g都有

${\displaystyle d_{S}(e,g)\leq d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})+1}$ 

取${\displaystyle c=\max _{s\in S}d_{X}(x_{0},s\cdot x_{0})}$ ，用三角不等式得出

${\displaystyle d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})\leq c\ d_{S}(e,g)}$ 

對任何${\displaystyle g,h\in G}$ ，有

${\displaystyle d_{X}(g\cdot x_{0},h\cdot x_{0})=d_{X}(x_{0},g^{-1}h\cdot x_{0})}$ 

${\displaystyle d_{S}(g,h)=d_{S}(e,g^{-1}h)}$ 

故此從以上兩條不等式可以得出

${\displaystyle d_{S}(g,h)-1\leq d_{X}(g\cdot x_{0},h\cdot x_{0})\leq c\ d_{S}(g,h)}$ 

而且X中每一點x都距離某個${\displaystyle g\cdot x_{0}}$ 不超過r，所以${\displaystyle g\mapsto g\cdot x_{0}}$ 是擬等距映射，G和X是擬等距同構。

註釋和參考

1. Švarc是阿爾伯特·施瓦茨的俄文姓氏Шварц的俄語拉丁轉寫。他移居美國後，使用他的姓氏的拉丁字母慣常寫法Schwarz。
2. Benson Farb, Lee Mosher,Convex cocompact subgroups of mapping class groups