擬等距同構

擬等距同構是數學上度量空間之間的等價關係，著重在度量空間上的粗結構，而忽略掉小尺寸上的細節。這樣有如從遠處觀看度量空間，看到其大概，而察看不出細處的分別。

定義

設有兩個度量空間${\displaystyle (X,d_{X})}$ , ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ ，並有（未必連續的）映射${\displaystyle f:X\to Y}$ 。若存在常數${\displaystyle L\geq 1}$ , ${\displaystyle C\geq 0}$ ，使得對所有${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ ，有

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Ld_{X}(x_{1},x_{2})+C}$ 

那麼稱映射f是(L, C)-粗利普希茨的。這條不等式，可視為f在長距離時差不多是L-利普希茨連續的。

若對所有${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ ，有

${\displaystyle {\frac {1}{L}}d_{X}(x_{1},x_{2})-C\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Ld_{X}(x_{1},x_{2})+C}$ 

那麼稱映射f是一個(L, C)-擬等距嵌入。雖然f不一定符合平常意義上的嵌入，即f未必把兩個不同的點映射到不同的點上，但是對兩個相隔得足夠遠的點，這兩點的像也是不同的。

擬等距映射有兩個等價定義：

• 若${\displaystyle f:X\to Y}$ 是(L, C)-粗利普希茨映射，且存在(L, C)-粗利普希茨映射${\displaystyle g:Y\to X}$ ，使得對所有${\displaystyle x\in X}$ ，所有${\displaystyle y\in Y}$ ，都有

${\displaystyle d_{X}(g(f(x)),x)\leq C}$ 

${\displaystyle d_{Y}(f(g(y)),y)\leq C}$ 

那麼稱映射f為(L, C)-擬等距映射。這兩條不等式，可視為在長距離時，f, g差不多是互為逆映射。

• f是一個(L, C)-擬等距嵌入，並且對任一點${\displaystyle y\in Y}$ ，都存在${\displaystyle x\in X}$ 使

${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))\leq C}$ 

那麼稱映射f為(L, C)-擬等距映射。這條不等式，是說Y中每一點距離X的像f(X)都不超過C。對這定義的f，可以構造前一定義的g如下：對每一點${\displaystyle y\in Y}$ ，取任一個${\displaystyle x\in X}$ 使得${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))\leq C}$ ，並令${\displaystyle g(y):=x}$ 。

這兩個定義中的L, C值可能不同。

兩個度量空間${\displaystyle (X,d_{X})}$ , ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ 若存在(L, C)-擬等距映射f，則X, Y稱為(L, C)-擬等距同構。^[1]若常數L, C的值不要緊時，可以簡單地稱X, Y為擬等距同構。

對度量空間X, Y, Z，如果${\displaystyle f_{1}:X\to Y}$ , ${\displaystyle f_{2}:Y\to Z}$ 都是擬等距映射，那麼${\displaystyle f_{2}\circ f_{1}:X\to Z}$ 也是擬等距映射。

例子

設函數${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {Z} }$ ，以四捨五入方式，從實數映射到整數上。那麼f是一個擬等距映射。按擬等距映射的定義一，可以取L=1, C=1，而${\displaystyle g:\mathbb {Z} \to \mathbb {R} }$ 可用g(x)=x。因此${\displaystyle \mathbb {R} }$ 和${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 是擬等距同構。

對任何正整數n，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 和${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ 間也有類似的擬等距映射，所以${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 和${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ 是擬等距同構。

任何兩個有界的度量空間都是擬等距同構，在兩者間的任何映射都是擬等距映射。

群論上的應用

一個有限生成群G，其中任何兩個有限生成集合S, T賦予G兩個字度量${\displaystyle d_{S}}$ , ${\displaystyle d_{T}}$ ，那麼${\displaystyle (G,d_{S})}$ 和${\displaystyle (G,d_{T})}$ 是擬等距同構。所以縱使G可以有多種不同的字度量，但都對應同一個擬等距同構類。因此，可以定義有限生成群之間的擬等距同構關係。而一般的度量空間中的性質，凡是於擬等距映射下不變的，都可以用為有限生成群的性質。幾何群論中的雙曲群正是一例。

如果一個有限生成群作用於一個度量空間，並滿足一些條件，根據施瓦茨－米爾諾引理，這個群和受其作用的度量空間是擬等距同構。故此可以從研究度量空間，得知群的一些性質。

參考

1. http://www.math.ucdavis.edu/~kapovich/EPR/ggt.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆） Cornelia Drutu and Michael Kapovich, Lectures on Geometric Group Theory