可作图的条件 编辑 一些正多边形很容易地用圆规和直尺作出，而另一些却不行。于是便提出了一个问题：是否所有的正 n 边形，都可以用圆规和直尺作出？若不能，哪些正 n 边形可以，哪些不可以？
德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯 在1796年证明了作出正十七边形 的可能性。五年后，他在他的《算术研究 》一书中提出了高斯周期（英語：Gaussian period ）理论，这一理论可推导出一个正 n 边形是可作图多边形的充分条件 ：
如果 n 是 2 的 k 次方和任意个（可为 0 个）相異费马素数 的乘积，那么这个正 n 边形可以用圆规和直尺作出。 高斯认为这个条件也是必要条件 ，但是他一直没有发表他的证明。1837 年，Pierre Wantzel Gauss–Wantzel 定理 。
详细结论 编辑 已知的费马数中只有前五个是素数 ：
F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257,和F 4 = 65537 （OEIS 數列A019434 ）接下来的二十八个费马数，从F 5 到F 32 ，已证实都是合数 。[1]
因此正n 边形如果
n = 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 16 , 17 , 20 , 24 , 30, 32, 34, 40, 48, 51 OEIS 數列A003401 ）则可以用圆规和直尺作出，如果
n = 7 , 9 , 11 , 13 , 14 , 18 , 19 , 21, 22, 23, 25 26 27 28 29 31 33 35 OEIS 數列A004169 ）则不能。
与杨辉三角的联系 编辑 相異费马素数的乘积，3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, ..., 65535, 65537, ..., 4294967295 （OEIS 數列A004729 ），相对应的31个奇数边正多边形均为可作图多边形。约翰·何顿·康威 （英語：John Horton Conway ）在《The Book of Numbers》中评论，当把这31个数写成二进制时，正好等于杨辉三角 前32行的模2同余 ，抛去第一行。但这种模式在第33行之后就不成立了，因为第6个费马数是合数，所以剩下的那些行就不符合条件了。目前还不知道是否存在更多的费马素数，因而就不知道有多少个奇数边可作图多边形。一般的，如果有x 个费马素数，就有 2 x − 1 {\displaystyle 2^{x}-1}
普遍理论 编辑 根据伽罗瓦理论 （英語：Galois theory ），这些证明的原理已经变得十分清晰。它直接展示了解析几何 中可做图长度必须用基础长度通过解一系列二次方程 得到。在域论 中，这样的长度一定包含在由一系列二次扩张生成的扩张域 中。由此可见，这样的域的度数相对基域而言总是 2 n {\displaystyle 2^{n}}
在特定的情况下，作出正n 边形的问题转变为作出长度
cos 2 π n {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}} 这个实数就在n 次分圆域 之中——事实上它的实子域就是一个全实域 ，是一个有理 的维度 为
1 2 ϕ ( n ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\phi (n)} 的矢量空间 ，其中 ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} 欧拉函数 。Wantzel的计算结果表明当 ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)}
尺规作图 编辑 正十七边形 的作图可作图多边形的作图方法都是已知的。如果 n = p q {\displaystyle n=pq} p 和q 互素 ）：
当 p = 2 {\displaystyle p=2} q 边形，再作出任意一个中心角的角平分线 ，这样就可以作出一个2q 边形了。 当 p > 2 {\displaystyle p>2} p 边形和一个q 边形，这两个多边形要有公共顶点 。因为p 和q 是互素的，所以一定存在整数a 和b 使得 a p + b q = 1 {\displaystyle ap+bq=1} 2 a π q + 2 b π p = 2 π p q {\displaystyle {\frac {2a\pi }{q}}+{\frac {2b\pi }{p}}={\frac {2\pi }{pq}}} pq 边形了。 因而唯一需要做的就是找到正n 边形（n 为费马素数）的作图方法。
正三角形的作图方法很简单，早在古代就已知了。参见正三角形 。 正五边形的作图方法在欧几里德 （古希臘語 ：Εὐκλείδης ）的《几何原本 》（古希臘語 ：Στοιχεῖα ，公元前300年）和托勒密 （古希臘語 ：Κλαύδιος Πτολεμαῖος ）的《天文学大成 》（古希臘語 ：Μαθηματικἠ Σύνταξις ，公元前150年）中都已有描述。参见正五边形 。 尽管高斯 证明了正十七边形可以用圆规和直尺作出，但他并没有直接给出作图的方法。第一个作图方法是由Erchinger在几年之后给出的。参见正十七边形 。 第一个明确的正257边形的作图方法是由Friedrich Julius Richelot（1832）给出的。[2] 正257边形 。 第一个给出正65537边形的作图方法的人是约翰·古斯塔夫·爱马仕 （1894），作图极其麻烦，Hermes花费了十年时间填满了200多页的手稿。[3] 康威 对Hermes的作图方法的有效性表示怀疑。[4] 正65537边形 。 其他作图 编辑 应该强调的是本文中讨论的作图专指尺规作图 。如果允许使用其他的工具，作出更多的正n 边形也是可能的。例如，所谓的二刻尺 ，就是有两个刻度的直尺。用二刻尺作图可以作出正三角形 一直到正二十二邊形，尽管剩下許多多边形仍然无法作出。
當n 等於 2 r 3 s p 1 p 2 ⋯ p k , {\displaystyle 2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},} r, s, k ≥ 0且p i 皮爾龐特質數 （符合 2 t 3 u + 1 {\displaystyle 2^{t}3^{u}+1} t 和u 是正整數），正n 邊形可以由直尺 、圓規 以及三等份角 作出：[5] :Thm. 2
参见 编辑 参考来源 编辑 ^ （英文） 費馬數的分解 （页面存档备份，存于互联网档案馆 ）^ Friedrich Julius Richelot. De resolutione algebraica aequationis x257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1832, 9 : 1–26, 146–161, 209–230, 337–358 （拉丁语） . ^ Johann Gustav Hermes. Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (Göttingen). 1894, 3 : 170–186 （德语） . ^ 存档副本. [2011-07-21 ] . （原始内容于2019-05-14）. ^ Gleason, Andrew Mattei. (PDF) . The American Mathematical Monthly. March 1988, 95 (3): 185–194. doi:10.2307/2323624 . （原始内容 (PDF) 存档于2015-12-19）.
可作图多边形, 此條目翻譯自英語維基百科, 需要相關領域的編者協助校對翻譯, 如果您精通本領域, 又能清楚地將英語翻譯為中文, 歡迎您協助校訂翻譯, 原文参见en, constructible, polygon, 在数学中, 是可以用尺规作图的方式作出的正多边形, 例如, 正五边形可以只使用圆规和直尺作出, 而正七边形却不可以, 正五边形的作图, 目录, 可作图的条件, 详细结论, 与杨辉三角的联系, 普遍理论, 尺规作图, 其他作图, 参见, 参考来源可作图的条件, 编辑一些正多边形很容易地用圆规和直尺作出, 而. 此條目翻譯自英語維基百科 需要相關領域的編者協助校對翻譯 如果您精通本領域 又能清楚地將英語翻譯為中文 歡迎您協助校訂翻譯 原文参见en Constructible polygon 在数学中 可作图多边形是可以用尺规作图的方式作出的正多边形 例如 正五边形可以只使用圆规和直尺作出 而正七边形却不可以 正五边形的作图 目录 1 可作图的条件 1 1 详细结论 1 2 与杨辉三角的联系 2 普遍理论 3 尺规作图 4 其他作图 5 参见 6 参考来源可作图的条件 编辑一些正多边形很容易地用圆规和直尺作出 而另一些却不行 于是便提出了一个问题 是否所有的正 n 边形 都可以用圆规和直尺作出 若不能 哪些正 n 边形可以 哪些不可以 德国数学家卡尔 弗里德里希 高斯在1796年证明了作出正十七边形的可能性 五年后 他在他的 算术研究 一书中提出了高斯周期 英語 Gaussian period 理论 这一理论可推导出一个正 n 边形是可作图多边形的充分条件 如果 n 是 2 的 k 次方和任意个 可为 0 个 相異费马素数的乘积 那么这个正 n 边形可以用圆规和直尺作出 高斯认为这个条件也是必要条件 但是他一直没有发表他的证明 1837 年 Pierre Wantzel 英语 Pierre Wantzel 给出了一份完整的必要性的证明 因此这个定理被叫做 Gauss Wantzel 定理 详细结论 编辑 已知的费马数中只有前五个是素数 F0 3 F1 5 F2 17 F3 257 和F4 65537 OEIS數列A019434 接下来的二十八个费马数 从F5到F32 已证实都是合数 1 因此正n边形如果 n 3 4 5 6 8 10 12 15 16 17 20 24 30 32 34 40 48 51 德语 51 Eck 60 64 OEIS數列A003401 则可以用圆规和直尺作出 如果 n 7 9 11 13 14 18 19 21 22 23 25 法语 Pentaicosagone 26 英语 Icosihexagon 27 法语 Heptaicosagone 28 英语 Icosioctagon 29 法语 Enneaicosagone 31 法语 Hentriacontagone 33 法语 Tritriacontagone 35 法语 Pentatriacontagone 36 OEIS數列A004169 则不能 与杨辉三角的联系 编辑 相異费马素数的乘积 3 5 15 17 51 85 255 257 65535 65537 4294967295 OEIS數列A004729 相对应的31个奇数边正多边形均为可作图多边形 约翰 何顿 康威 英語 John Horton Conway 在 The Book of Numbers 中评论 当把这31个数写成二进制时 正好等于杨辉三角前32行的模2同余 抛去第一行 但这种模式在第33行之后就不成立了 因为第6个费马数是合数 所以剩下的那些行就不符合条件了 目前还不知道是否存在更多的费马素数 因而就不知道有多少个奇数边可作图多边形 一般的 如果有x个费马素数 就有2 x 1 displaystyle 2 x 1 nbsp 个奇数边可作图多边形 普遍理论 编辑根据伽罗瓦理论 英語 Galois theory 这些证明的原理已经变得十分清晰 它直接展示了解析几何中可做图长度必须用基础长度通过解一系列二次方程得到 在域论中 这样的长度一定包含在由一系列二次扩张生成的扩张域中 由此可见 这样的域的度数相对基域而言总是2 n displaystyle 2 n nbsp 在特定的情况下 作出正n边形的问题转变为作出长度 cos 2 p n displaystyle cos frac 2 pi n nbsp 这个实数就在n次分圆域之中 事实上它的实子域就是一个全实域 是一个有理的维度为 1 2 ϕ n displaystyle frac 1 2 phi n nbsp 的矢量空间 其中ϕ n displaystyle phi n nbsp 是欧拉函数 Wantzel的计算结果表明当ϕ n displaystyle phi n nbsp 可以写成2的几次幂的时候正是这种特殊情况 尺规作图 编辑 nbsp 正十七边形的作图可作图多边形的作图方法都是已知的 如果n p q displaystyle n pq nbsp p和q互素 当p 2 displaystyle p 2 nbsp 时 先作一个q边形 再作出任意一个中心角的角平分线 这样就可以作出一个2q边形了 当p gt 2 displaystyle p gt 2 nbsp 时 在同一个圆中作出一个p边形和一个q边形 这两个多边形要有公共顶点 因为p和q是互素的 所以一定存在整数a和b使得a p b q 1 displaystyle ap bq 1 nbsp 于是2 a p q 2 b p p 2 p p q displaystyle frac 2a pi q frac 2b pi p frac 2 pi pq nbsp 这样就可以作出一个pq边形了 因而唯一需要做的就是找到正n边形 n为费马素数 的作图方法 正三角形的作图方法很简单 早在古代就已知了 参见正三角形 正五边形的作图方法在欧几里德 古希臘語 Eὐkleidhs 的 几何原本 古希臘語 Stoixeῖa 公元前300年 和托勒密 古希臘語 Klaydios Ptolemaῖos 的 天文学大成 古希臘語 Ma8hmatikἠ Synta3is 公元前150年 中都已有描述 参见正五边形 尽管高斯证明了正十七边形可以用圆规和直尺作出 但他并没有直接给出作图的方法 第一个作图方法是由Erchinger在几年之后给出的 参见正十七边形 第一个明确的正257边形的作图方法是由Friedrich Julius Richelot 1832 给出的 2 参见正257边形 第一个给出正65537边形的作图方法的人是约翰 古斯塔夫 爱马仕 1894 作图极其麻烦 Hermes花费了十年时间填满了200多页的手稿 3 但是 康威对Hermes的作图方法的有效性表示怀疑 4 参见正65537边形 其他作图 编辑参见 皮爾龐特質數和二刻尺作圖 特定正多邊形 应该强调的是本文中讨论的作图专指尺规作图 如果允许使用其他的工具 作出更多的正n边形也是可能的 例如 所谓的二刻尺 就是有两个刻度的直尺 用二刻尺作图可以作出正三角形一直到正二十二邊形 尽管剩下許多多边形仍然无法作出 當n等於2 r 3 s p 1 p 2 p k displaystyle 2 r 3 s p 1 p 2 cdots p k nbsp 其中r s k 0且pi是大於三的皮爾龐特質數 符合2 t 3 u 1 displaystyle 2 t 3 u 1 nbsp 形式的素數 此時t和u是正整數 正n邊形可以由直尺 圓規以及三等份角作出 5 Thm 2参见 编辑多边形参考来源 编辑 英文 費馬數的分解 页面存档备份 存于互联网档案馆 Friedrich Julius Richelot De resolutione algebraica aequationis x257 1 sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata Journal fur die reine und angewandte Mathematik 1832 9 1 26 146 161 209 230 337 358 拉丁语 Johann Gustav Hermes Uber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen Mathematisch Physikalische Klasse Gottingen 1894 3 170 186 德语 存档副本 2011 07 21 原始内容存档于2019 05 14 Gleason Andrew Mattei Angle trisection the heptagon and the triskaidecagon PDF The American Mathematical Monthly March 1988 95 3 185 194 doi 10 2307 2323624 原始内容 PDF 存档于2015 12 19 取自 https zh wikipedia org w index php title 可作图多边形 amp oldid 78487173, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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